А вот раскажите мне про шестигранник.
Почему например, пчелиные соты именно шестигранные? Ну, то есть, я конечно догадываюсь, что это не пчелы их шестигранными делают, просто их так сплющивает со всех сторон и более-менее круглые поначалу соты становятся шестигранниками.
Но вот вопрос: почему самая оптимальная фигура для заполнения плоскости без просветов — это именно шестигранник? А не какой-нибудь там восьмигранник, например? Есть этому какое-то математическое объяснение?

GD Star Rating
loading...

72 Responses to А вот раскажите мне про шестигранник.

  1. Loino:

    Хотя я вот щас погуглил, пишут что пчелы и вовсе прям сходу шестигранники лепят, но это в принципе неважно.

  2. M2yod:

    Разбиение плоскости на правильные шестиугольники — самый экономичный способ из всех возможных способов, он позволяет получить наибольшее количество ячеек наибольшей площади при наименьшем расходе материала на стены.

    Пчелы тупо экономят на воске, жлобы!

  3. Raeack:

    а всё из-за свойст трёхмерного, мать его, пространства!

  4. 1reodin:

    Потому что пчелы умнее тебя, %username%!

    Хотя и непонятно, как это им удается. Я всё меньше понимаю, как устроена эволюция.

  5. Htood:

    в данном случае — двумерного.

  6. Rdnod:

    Я думаю тут дело скорее в том, что шестиугольники наиболее близки к окружности. Ведь личинки в сечении как раз круглые.

  7. Namno:

    Стопятидясетиугольник смотрит на этот комментарий, ну ты сам понимаешь.

  8. Esiko:

    >почему самая оптимальная фигура для заполнения плоскости без просветов — это именно шестигранник?

    Да тут и выбирать особенно не из чего: из правильных многоугольников замостить плоскость без просветов можно только треугольником, квадратом и шестиугольником, потому что только у них градусная мера углов делят 360. Ну а шестиугольник из них самый крутой, потому что самый круглый.

  9. Letunes:

    это только домашние пчелы в ульях. В диких ульях соты покрывают любую поверхность.
    Также устроена «сотовая» мобильная связь. Количество базовых станций и расстояние до каждого пользователя минимально, при покрытии шестигранниками.
    Но самое главное перекрытие излучателей меньше чем если бы покрывали квадратами.

  10. Kayank:

    интересная наука

    про соты и прочие замощения на Элементах

  11. Htood:

    В курсе. А про недомашних — нет. Пчёлы — редкостные прелести, я рад, что открыл их для себя.

  12. Loino:

    В послесловии там написано как раз то, что меня интересовало, спасибо -)

  13. Loino:

    Собственно вопрос состоял в том, почему именно угол 60° обеспечивает оптимальное заполнение.
    Можно ведь и треугольниками, и квадратами заполнить плоскость без просветов, но отношение площади к периметру у них меньше, чем у шестиугольников.
    Мой вопрос был — почему оптимальным оказалось именно 60°? Что в этом числе такого магического, какая функция в максимуме при этом значении? (Ну, кроме функции отношения площади к периметру) -)

  14. Nirekb:

    Когда-то в блоге проскакивало занятное видео, про соединение мыльных пузырей. Сейчас его найти не могу, но суть можно почерпнуть из статьи в википедии:
    Когда два пузыря соединяются, они принимают форму с наименьшей возможной площадью поверхности. Их общая стенка будет выпячиваться внутрь большего пузыря, так как меньший пузырь имеет бо?льшую среднюю кривизну и большее внутреннее давление. Если пузыри одинакового размера, их общая стенка будет плоской.
    Правила, которым подчиняются пузыри при соединении, были экспериментально установлены в XIX веке бельгийским физиком Жозефом Плато и доказаны математически в 1976 г. Жаном Тейлором.
    — Мыльные плёнки представляют собой кусочно гладкие поверхности, средняя кривизна которых постоянна на каждом гладком участке.
    — Если пузырей больше чем три, они будут располагаться таким образом, что возле одного края могут соединяться только три стенки, при этом углы между ними будут равны 120°, в силу равенства поверхностного натяжения для каждой соприкасающейся поверхности.
    — Линии пересечения поверхностей пересекаются в одной точке по четыре штуки, причём угол между любыми двумя равен arccos(-1/3)?109,47°.
    Пузыри, не подчиняющиеся этим правилам, в принципе могут образовываться, однако будут сильно неустойчивыми и быстро примут правильную форму либо разрушатся. Пчёлы, которые стремятся уменьшить расход воска, соединяют соты в ульях также под углом 120°, формируя, тем самым, правильные шестиугольники.

  15. Loino:

    Ой, я хотел сказать 120, а не 60 -)

  16. Loino:

    Видимо доказательство Жана Тейлора — это и есть ответ на мой вопрос -)

  17. Lamwet:

    Потому что 120 — это максимальный невырожденный угол, который укладывается в 360 гралусов целое число раз.

  18. Lamwet:

    Пошел в сеть рыться с аналогиями для трехмерного пространства и на тридцатом, мать его, году жизни узнал, что трехмерное пространство нельзя заполнить никакими одинаковыми правильными многогранниками кроме кубов. Вообще никакими, даже тетраэдрами. Привычная картина мира рушится, как карточный домик, пойду напьюсь.

  19. Retank:

    в трёхмерном пространстве я бы в качестве аналогии предложила решётки Браве и их плотности упаковки.

  20. Retank:

    кстати, если вы будете когда-нибудь есть шоколадные шарики несквик с молоком или что-нибудь подобное, то обратите внимание на то, как упорядочиваются шарики — они образуют структуру пчелиных сот.

  21. AkmMsk:

    Шестёрка она вообще загадочная. Например, все простые числа (те что деляться только на 1 и на самих себя), кроме 2 и 3, можно представить в виде 6k+1 или 6k-1, где k натуральное число. А каков механизм распределения простых чисел в множестве натуральных чисел — не понятно.

  22. Rdnod:

    Пускай смотрит, он не может заполнить плоскость без потерь. Из правильных многоугольников только треугольники, квадраты и шестиугольники обладают таким свойством.

  23. Retank:

    ты сам себе противоречишь.

  24. Reted:

    Потому, что если делать сегменты одинакового размера, то выйдет, что вокруг одного помещается шесть.

  25. NuSin:

    пчелы молодцы.
    а тупые осы (многие) делают круглые соты..

    хотел ещё про заполнение плоскости написать, но это всё и так уже написали.

    Хотя, к слову, соты у пчел в природе не всегда столь идеальны, т.к. под разные нужды они ещё разного размера. Тут также ещё заслуга пасечника который им рамки впаривает с заготовками.

  26. Oloort:

    попахивает памятью воды

  27. Gihata:

    sololo: Нет, вполне себе науч поп от BBC. Там и про мыльные пузыри и про соты рассказывается.

  28. Retank:

    и правда нет. Туплю.

  29. Yenodin:

    На dirty был пост с похожей темой и судя по всему математическое доказательство оптимальности структуры WP до конца не получено

    интересная наука

  30. Gnigreen:

    Я не понял, а какой еще остаток от деления на 6 может быть у простого числа большего 6, кроме 1 и 5? 0,2,3,4 очевидно не подходят, так что никакой загадкой тут и не пахнет.

  31. AkmMsk:

    никакого, всё верно. вопрос почему всё именно так, и почему все простые имеют именно такое свойство

  32. Jiher:

    на квадраты не проще ли?

  33. Remer:

    Я нихуя не разбираюсь в пчелах и этой геометрической хуйне, да и пчелы, думаю, не особо размышляют над этими проблемами. Последовательность процесса я вижу так: пчелы просто делают первый ряд сот, потом над ним следующий — в углублениях над первым. в результате получается такое шестигранное говно — хотя пчелы вообще не рассматривают эти объекты как центрально симметричные. Это просто тупо построение трубочек в углублениях. Даже гифчанский залепил на ночь глядя. Любой хуйней готов заниматься, лишь бы курсач не писать. Ловите, в общем:

    размер 301x213, 143.79 kb

  34. Remer:

    Короче, это нам кажется, что симметрия преднамеренно создана пчелами, чтобы строить заговоры. На деле же они тупо строят там, где уже есть место и готовые нижние стенки (пол нижнего ряда). Проблем солвд.

  35. M2yod:

    Нет, квадратов на единицу площади получается меньше, чем шестиугольников.

  36. OTInow:

    простые числа любят диагонали великого числового квадрата, на который намотаны натуральные числа.

    интересная наука

  37. OTInow:

    недавно смотрел БиБиСишный фильм Тайный код жизни (The Code), там и про пчелиные соты рассказано, на примере мыльных пузырей.

    есть мнение, что нужно почитать про теорию минимальных поверхностей, тогда все станет понятно.

  38. OTInow:

    ну или просто стать пчелой.

  39. OTInow:

    мне понравился сюжет про цикад.

  40. Gnigreen:

    Потому что, если число принадлежит к классам вычетов 0,2,3 или 4 по модулю 6 и оно больше 6, то оно соответственно делится на 6,2,3 или 2,то есть не является простым.

  41. Yesam:

    Я, пожалуй, здесь же спрошу. Почему из точки пересечения трещин всегда выходит три луча? Кстати, только сейчас обратил внимание, трещина. Забавно.

    интересная наука

  42. Gnigreen:

    Нашел 4 места с 4-мя, но особо не вглядывался.

  43. Odaekb:

    : Наводящий вопрос: а зачем в конце трещины сверлячат дырку, чтобы трещина не шла дальше?

  44. Yorack:

    пчелы ясно, а шестиугольник на Сатурне?

    интересная наука

  45. odin_vi:

    Думаю, что самый распространённый случай всё-таки не три луча, а два. Следом по распространённости идут 3, затем 4 и так далее.

  46. Yesam:

    чтобы распределить нагрузку, как я понимаю

  47. Yesam:

    ну даже если не всегда, то в подавляющем большинстве случаев

  48. Remer:

    если вы погуглите видосы, вам покажут, что внутри все-таки круглый вихрь, а шестигранным он получается из-за завихрений по периметру. Вики.

  49. Esiko:

    А еще их можно представить в виде 4k-1 или 4k+1, 3k-1 или 3k+1, 8k-1 или 8k-3 или 8k+1 или 8k+3, никакой магии с шестеркой.

  50. Oloort:

    эт ты еще до диплома не добрался:(

  51. Redenko:

    Потому что Земля круглая!

  52. Tnaall:

    отличное объяснение — он шестигранный из-за того, что шестигранный

  53. odin_pra:

    скорее всего потому что очень маловероятно, что кусок разломится по такой линии, которая попадёт в уже существующее пересечение.

  54. odin_pra:

    такая запись («можно представить в виде 6k+1 или 6k–1») всего лишь означает что они не делятся на 2 или на 3.

  55. Loino:

    А разве количество тут — решающий фактор?

  56. M2yod:

    Если ты экономишь на воске (материале для стенок ячеек) то да — решающий.

  57. 02lekb:

    Товарищ Вороной и его диаграммы. Мне кажется там найдете ответ.

    размер 407x406, 24.59 kb

  58. NuSin:

    потому, что если будет выходить два, то никто не назовет это пересечением.

  59. CopRU:

    в случае с пчелами — у них просто инстинкт строить в такой форме. То есть природа сначала нашла «хорошую» конфигурацию опытным путем, а потом заложила в них «программу». На этом уровне уже нет никакой физики (как в образовании шестиугольников в известных лавовых столбах), а просто программа.

  60. Ajtno:

    офигеть как загадочно. Простое число не делится на 2 и 3, это означает, что оба соседних делятся на два, и одно из соседних делится на три.

  61. Retort:

    я с математикой на вы, но вдруг стало интересно, какое соотношение простых чисел, оканчивающихся на разные цифры. Думал, может быть что-нибудь интересное. Посчитал до 100к и получил вот что:

    интересная наука

    Для 1,3,7 и 9 всё совершенно равномерно. По крайней мере до 100к.

  62. NuSin:

    теперь можно взять не десятичную, а какую-нибудь другую систему. В двоичной правда тут вообще скучно будет.

Добавить комментарий