Натолкнулся в интернетах на этот парадокс.
Но описание на вики мне не очень понравилось, и я написал своё.
Не знал где его выложить, поэтому делюсь с вами.
GD Star Rating
loading...
loading...
56 Responses to Парадокс двух конвертов.
Добавить комментарий Отменить ответ
Обсуждения в блоге
- ДОБРО ПОЖАЛОВАТЬ В НАУКУ!
- блогерс, кто может дать радиометр погонять на денёк?
- про IR лазеры теперь, чтоб те долго жили.
- Не уверен, что чисто алгебраические задачи будут тут уместны, но всё же.
- Швейцарские и грузинские археологи обнаружили в ходе раскопок человеческий череп, который доказывает, что уже 1,8 миллиона лет назад все люди, живущие на земле, принадлежали к одному и тому же виду приматов —
- Суббота.
- Господа, у меня своеобразный вопрос.
- Пару недель назад мы с каналом «Наука 2.
- Друзья, объясните мне пожалуйста, чем отличается альфа частица 3.
- Байты и биты.
В один конверт помещается некоторая сумма денег, неизвестная для других, и этот конверт отдаётся Али. Затем скрытно подбрасывается монета. Если выпадает орёл, во второй конверт кладётся сумма в два раза большая, чем в первом. В противном случае во второй конверт кладётся сумма в два раза меньшая. Этот конверт отдаётся Бабе. Али и Баба могут открыть свои конверты, не сообщая один другому суммы которые они там видят. После этого они могут (по обоюдному согласию) обменяться конвертами.
Предположим, что Али видит в своём конверте 10?$. Али предполагает, что в конверте у Бабы равновероятно могут находиться 5?$ или 20?$. В этом случае обмен конвертами приносит Али 2,5?$ (или 25?:. Аналогично Баба считает, что в конверте Али равновероятно находится сумма в два раза меньшая или большая, чем x, которая находится у него. Поэтому в среднем, при обмене конвертов, он получает (-0,5 x + x)/2 = 0,25 x. Таким образом, Баба также ожидает получить в среднем 25?% дохода, по сравнению с суммой в своём конверте.
Однако, это является парадоксальным. Обмен конвертами не может быть выгоден обоим участникам. Где ошибка в их рассуждениях?
B конверте 10$.
Ты гарантированно выигрываешь 5$ при любом раскладе.
Ты можешь увеличить свой выигрыш в 2 раза с вероятностью 100%
или можешь увеличить свой выигрыш в 4 раза с вероятностью 50%.
Поэтому из ходя из суммы гарантированного выигрыша 5$ ты выбираешь, если считаешь его большим, то лучше не рисковать и увеличить его в 2 раза, если маленьким, то рискнуть и попытаться получить в 4 раза больше.
задачка для жадных евреев? но МАТ?
и где ты написал своё? Ты ж скопировал с вики.
А как насчет трех дверей и ведущего, который открывает одну из них?
я выбираю другую дверь!
обьясни, если у Али в конверте 10$, а у Бабы 5$, то каким образом обмен конвертами может быть выгоден для Али?
куда слать деньги?
своё, то что не курсивом.
Но я даю не совсем ответ на конкретный вопрос (Где ошибка в их рассуждениях? — ответ, ошибка в формуле).
Я не знаю как это конкретно назвать, просто хотелось поделиться своими мыслями по этому вопросу.
мы не знаем у Бабы 5 или 20 вечно зеленых в конверте.
Вопрос. Можно ли решить этот парадокс не математически, а логически.
В одном конверте лежит 1 копейка, в другом конверте 2 копейки. Очевидно, что если в моем конверте лежит одна копейка, то для меня выгодно поменять конверты. Т.е. проблема в квантуемости денег.
МАТ, ты–то пишешь:
Ты можешь увеличить свой выигрыш в 2 раза с вероятностью 100%
или можешь увеличить свой выигрыш в 4 раза с вероятностью 50%.
ты можешь эту МАТ обьяснить?!
на деле получается, что ты можешь либо МАТ половину своего «выйгриша», либо увеличить его в два раза.
Каким образом ты увеличишь его в 4 раза?! и каким образом ты можешь его увеличить в два раза с вероятностью 100%, если ты ровно с такой же вероятностью можешь и МАТ половину?!
Исходя из того, что ты пишешь: «Поэтому из ходя из суммы гарантированного выигрыша 5$ ты выбираешь, если считаешь его большим, то лучше не рисковать и увеличить его в 2 раза, если маленьким, то рискнуть и попытаться получить в 4 раза больше.» ты вообще МАТ не понял суть задачи.
увеличить свой выйгриш в 4 раза невозможно — ни при каких обстоятельствах.
Исходя из того, как ты пишешь слово «Из ходя» — ты вообще мало что понимаешь.
домашку–то сделал?
sololo: хитро, но это же работает только для одной копейки. Если же у тебя две копейки или больше, то это уже не работает.
мы знаем, что в нашем конверте 10$, тут есть три варианта, проигрываем и получаем 5$, оставляем 10$ или выигрываем 20$, при любом раскладе мы получим не меньше 5$ и соответственно угадав мы получим в 4 раза больше минимального выигрыша.
давай не будем придираться к орфографии?
у твоего слова «выйгриш» проверочное слово йгра?
В потом пришла Байесовская статистика и всех разогнала.
Здесь нету никакой игры, какая нахрен игра? Тебе не понравилось изложение вики, и ты решил все это превратить в веселую игру с выигрышами и проигрышами?
Обьясни тогда, пожалуйста, как ты насчитал 100% вероятности удвоения от первоначальной суммы? ну вот каким таким образом? ты вообще понимаешь, что значит 100%? почему не 146% тогда?
Вероятность выиграть, ровно как и проиграть половину суммы ОДИНАКОВА. Орел или решка. в среднем имеется 25% успеха, причем для обоих участников одинаково. в чем и заключается парадокс.
а 100% вероятность у тебя есть только сохранить 10$, отказавшись обмениваться конвертами.
повторяю вопрос: какие МАТ 100% вероятности удвоения первоначальной ставки в 10$?
Эта задачка о дуализме Али-Бабы.
ну это объясняет, почему смена конвертов для обоих может быть выгодной. Приближение к нулю.
Но это не работает с красотой галстуков
а я выбираю третью дверь!
Задача о двух конвертах «губит природную симметрию случая»: …. «[Найден] перспективный подход к 80-летней загадке, объяснение которой может иметь последствия для массы теоретических и прикладных областей: от наглядного понимания некоторых парадоксов термодинамики и оптимизации работы технических систем до улучшения электронных схем и составления победной стратегии игры на фондовом рынке… Эбботт также известен как исследователь стохастического резонанса — парадоксального, на первый взгляд, явления усиления полезного (периодического) сигнала в нелинейных системах при добавлении к нему белого шума, …[что] находит применение в электронных системах.»
Очень хорошая задачка, на ней мы учили теорию игр. Там еще есть куча разных стратегий и у каждой своя прибыль. Есть стратегии приносящие больше 50% вероятности получить хороший конверт.
А рассуждения неправильные выше, так нельзя считать.
Бабе денег не давать вовсе, всеравно просрет. Бабы они такие.
у нас получается нефиксированная сумма, тогда задача работает. я думаю, с таким же успехом можно сформулировать задачу «если ты поменяешь конверт, получишь один доллар», и тоже придти к выводу, что надо менять.
попробуй сказать, что фонд составляет 15$, и Али резко расхочется меняться.
но это мнение, точного решения я не помню.
потрясающей бесполезности комментарий.
Вот правильная вероятность того, что ты получишь.
Факт, что ты выигрываешь от обмена — не противоречит математике. Люди неадекватно оценивают потери и выигрыш, поэтому кажется что это парадокс.
Да. Все упирается в то, что по условию задачи фонд не известен. А он известен — ведь туда деньги клал кто-то
sololo:
Я выбираю приз!
подколол!
итак, вы отказываетесь от денег?
Куда более часто в интернете встречается задача двух стульев.
В каком конверте взятку дашь, в каком поздравление матери отправишь?
sololo:
правильный ответ: женский.
еще одна моя мысль
рассмотрим 2 игры:
в первой игре в одном конверте 10$ в другом 5$
и вторая игра в одном 10$ в другом 20$
в первой и второй игре нам достаётся конверт с 10$
если мы 2 раза оставляем себе конверт, то получим 20$
если меняем, то 25$
исходя из этого кажется, что при достаточно длинной игре мы будет всегда в плюсе.
Но это будет только тогда, когда последующая сумма не будет отличаться на более или менее 25% ( (25$-20$)/2 = 2,5$, 2,5$/10$= 25:
например: если мы сыграли тысячу игр в которых номинал конвертов был 1$, 2$ и 3$, а в 1001ю игру нам достанутся конверты номиналом 0.5 млн и 1 млн, то не зависимо от результатов первых 1000 игр, исход решится в последнем раунде.
хотя что-то я уже не согласен со своими выводами)
теперь я считаю так:
сумма выигрыша ограничена, не может быть бесконечным числом или нулём.
так как суммы в конвертах генерируются случайно, там нам лишь надо знать верхнюю или нижнюю планку генератора, если мы не знаем планку, то использовать накопленный опыт.
средне ариф-кое между этими планками и будет нам подсказывать,
если в конверте меньше этого значения, то меняем конверт, если больше, то оставляем.
я подожду, пока ты себя снова опровергнешь
Ребята, тут есть две разные задачи.
В задаче №1 тебе надо выбрать любой из двух конвертов, когда они еще не распечатаны, там вероятность действительно 1/2.
В задаче №2 (которая тут обсуждается) конверты уже розданы, поэтому она, по-моему, вообще не из теории вероятностей, потому что вероятность уже произошла.
dilesoft: Ну а что касается суммы выигрыша, В СРЕДНЕМ ты действительно выиграешь 5/4 X. Но что значит в СРЕДНЕМ? Если ты 100500 раз сыграешь в эту игру, ты в любом случае (обменяешь конверт или нет) выиграешь 5/4X * количество игр. Ну а в единичном случае это вообще как повезет.
dilesoft: наконец-то настоящий научный подход!
Хороший пост получается. Так люди для себя открывают разные существующие подходы к проблеме вероятности.
а не только сидеть и зубрить перед сессией
dilesoft: происходит событие, а вероятность — его характеристика. Да и то, при большом количестве опытов.
все стратегии и вероятности срабатывают при нескольих раундах игры, и чем больше — тем лучше. И для стабильного заработка в 13 (или сколько там), в среднем, долларов нужны одинаковые условия — 10$ в один конверт и 5 или 20 в другой во всех опытах. Но за несколько раундов даже Али-Баба поймёт, что при 20$ в конверте меняться не стоит.
Допустим Али открывает конверт и находит там 400 000 долларов.
Он не будет меняться.
А допустим Али-Баба открыл конверт, и там нет ничего. Что вероятнее?
1. Получить два ничего.
2. Получить половину ничего.
3. Набить морду раздающему, чтобы отдать деньги.
Почему парадокс? В выигрыше оба, т.к. получили деньги на халяву.
Если серьезно, то
1) Парадокс возникает не тогда, когда мы задаемся вопросом почему обоим двум игрокам выгодно меняться конвертами. Ошибка возникает раньше, когда игрок, подсчитав мат.ожидание своего выигрыш, решает что в случае обмена он всегда выигрывает. Интуиция подсказывает нам что тут что-то не то, и на этот раз, в отличии от парадокса Монти-Холла, интуиция нас не подводит.
2) Пусть х -количество денег в нашем конверте. Мы считаем средний выигрыш по формуле
Е(выигрыш от обмена | x) = (2х + 0.5х) / 2
Это формула не верна! Правильная формула выглядит как
Е(выигрыш от обмена | x) = 2х* <вероятность того, что нам достался больший конверт> + 0.5х*<вероятность того, что нам достался меньший конверт>
Вторая формула переходит в первую только если обе этих вероятности не зависят от х и обе равны 0.5. А это возможно только в том случае: если мы считаем что количество денег х с равной вероятностью может является любым числом от 0 до бесконечности. А это невозможно.
3) Пусть х может с равной вероятность быть любым числом от 0 до У, где У — сколь угодно больше, но конечное число. Например, пусть У будет равно количеству всех денег в мире умноженное на количество атомов во вселенной. Этот задача практически идентична первой, но если аккуратно все посчитать, то парадокс исчезнет. Если мы подставим в <вероятность того, что нам достался больший конверт> любое корректное распределение вероятности, парадокс исчезнет
это не парадокс. А вот с конвертами действительно парадокс.
а если в конверте зарплата за месяц?
причём если предположить, что x — натуральное число, равномерно распределённое от нуля до бесконечности, то станет ясно, что вероятность получить любое конкретное число равна нулю.
а реальный мир и количество атомов это уже лишнее. Увидев сумму в 51% от числа всех денег на Земле, уже ясно что можно не менять.
Да пусть там просто запись какого-то числа. Даже с «конвертом» размером с видимую часть вселенной и суперплотной записи на всех этих атомах — максимально возможное число просто смехотворно рядом с бесконечностью.
По-моему, английская википедия дает довольно исчерпывающее объяснение. На мой вкус, и версии самые клевые и поставят в тупик по той или иной причине всех здесь высказавшихся. К счастью, там же есть вполне удовлетворительные объяснения.
В ответ автору поста: 100% + 50% = 150%. Фигня выходит.