Натолкнулся в интернетах на этот парадокс.

Но описание на вики мне не очень понравилось, и я написал своё.
Не знал где его выложить, поэтому делюсь с вами.

интересная наука

GD Star Rating
loading...

56 Responses to Парадокс двух конвертов.

  1. Newton22:

    В один конверт помещается некоторая сумма денег, неизвестная для других, и этот конверт отдаётся Али. Затем скрытно подбрасывается монета. Если выпадает орёл, во второй конверт кладётся сумма в два раза большая, чем в первом. В противном случае во второй конверт кладётся сумма в два раза меньшая. Этот конверт отдаётся Бабе. Али и Баба могут открыть свои конверты, не сообщая один другому суммы которые они там видят. После этого они могут (по обоюдному согласию) обменяться конвертами.

    Предположим, что Али видит в своём конверте 10?$. Али предполагает, что в конверте у Бабы равновероятно могут находиться 5?$ или 20?$. В этом случае обмен конвертами приносит Али 2,5?$ (или 25?:. Аналогично Баба считает, что в конверте Али равновероятно находится сумма в два раза меньшая или большая, чем x, которая находится у него. Поэтому в среднем, при обмене конвертов, он получает (-0,5 x + x)/2 = 0,25 x. Таким образом, Баба также ожидает получить в среднем 25?% дохода, по сравнению с суммой в своём конверте.

    Однако, это является парадоксальным. Обмен конвертами не может быть выгоден обоим участникам. Где ошибка в их рассуждениях?

    B конверте 10$.
    Ты гарантированно выигрываешь 5$ при любом раскладе.

    Ты можешь увеличить свой выигрыш в 2 раза с вероятностью 100%
    или можешь увеличить свой выигрыш в 4 раза с вероятностью 50%.

    Поэтому из ходя из суммы гарантированного выигрыша 5$ ты выбираешь, если считаешь его большим, то лучше не рисковать и увеличить его в 2 раза, если маленьким, то рискнуть и попытаться получить в 4 раза больше.

  2. Tsiasm:

    задачка для жадных евреев? но МАТ?

  3. Giblite:

    и где ты написал своё? Ты ж скопировал с вики.

  4. Nizelo:

    А как насчет трех дверей и ведущего, который открывает одну из них?

  5. Newton22:

    я выбираю другую дверь!

  6. Dnaead:

    обьясни, если у Али в конверте 10$, а у Бабы 5$, то каким образом обмен конвертами может быть выгоден для Али?

  7. Ffiero:

    куда слать деньги?

  8. Newton22:

    своё, то что не курсивом.
    Но я даю не совсем ответ на конкретный вопрос (Где ошибка в их рассуждениях? — ответ, ошибка в формуле).
    Я не знаю как это конкретно назвать, просто хотелось поделиться своими мыслями по этому вопросу.

  9. Newton22:

    мы не знаем у Бабы 5 или 20 вечно зеленых в конверте.

  10. Oloort:

    Вопрос. Можно ли решить этот парадокс не математически, а логически.
    В одном конверте лежит 1 копейка, в другом конверте 2 копейки. Очевидно, что если в моем конверте лежит одна копейка, то для меня выгодно поменять конверты. Т.е. проблема в квантуемости денег.

  11. Dnaead:

    МАТ, ты–то пишешь:
    Ты можешь увеличить свой выигрыш в 2 раза с вероятностью 100%
    или можешь увеличить свой выигрыш в 4 раза с вероятностью 50%.

    ты можешь эту МАТ обьяснить?!
    на деле получается, что ты можешь либо МАТ половину своего «выйгриша», либо увеличить его в два раза.
    Каким образом ты увеличишь его в 4 раза?! и каким образом ты можешь его увеличить в два раза с вероятностью 100%, если ты ровно с такой же вероятностью можешь и МАТ половину?!

  12. Dnaead:

    Исходя из того, что ты пишешь: «Поэтому из ходя из суммы гарантированного выигрыша 5$ ты выбираешь, если считаешь его большим, то лучше не рисковать и увеличить его в 2 раза, если маленьким, то рискнуть и попытаться получить в 4 раза больше.» ты вообще МАТ не понял суть задачи.
    увеличить свой выйгриш в 4 раза невозможно — ни при каких обстоятельствах.
    Исходя из того, как ты пишешь слово «Из ходя» — ты вообще мало что понимаешь.
    домашку–то сделал?

  13. Dnaead:

    sololo: хитро, но это же работает только для одной копейки. Если же у тебя две копейки или больше, то это уже не работает.

  14. Newton22:

    мы знаем, что в нашем конверте 10$, тут есть три варианта, проигрываем и получаем 5$, оставляем 10$ или выигрываем 20$, при любом раскладе мы получим не меньше 5$ и соответственно угадав мы получим в 4 раза больше минимального выигрыша.

  15. Newton22:

    давай не будем придираться к орфографии?
    у твоего слова «выйгриш» проверочное слово йгра?

  16. Ip2green:

    В потом пришла Байесовская статистика и всех разогнала.

  17. Dnaead:

    Здесь нету никакой игры, какая нахрен игра? Тебе не понравилось изложение вики, и ты решил все это превратить в веселую игру с выигрышами и проигрышами?
    Обьясни тогда, пожалуйста, как ты насчитал 100% вероятности удвоения от первоначальной суммы? ну вот каким таким образом? ты вообще понимаешь, что значит 100%? почему не 146% тогда?
    Вероятность выиграть, ровно как и проиграть половину суммы ОДИНАКОВА. Орел или решка. в среднем имеется 25% успеха, причем для обоих участников одинаково. в чем и заключается парадокс.
    а 100% вероятность у тебя есть только сохранить 10$, отказавшись обмениваться конвертами.
    повторяю вопрос: какие МАТ 100% вероятности удвоения первоначальной ставки в 10$?

  18. Akcero:

    Эта задачка о дуализме Али-Бабы.

  19. Oloort:

    ну это объясняет, почему смена конвертов для обоих может быть выгодной. Приближение к нулю.
    Но это не работает с красотой галстуков

  20. Oloort:

    а я выбираю третью дверь!

  21. supnow:

    Задача о двух конвертах «губит природную симметрию случая»: http://membrana.ru/articles/simply/2009/…. «[Найден] перспективный подход к 80-летней загадке, объяснение которой может иметь последствия для массы теоретических и прикладных областей: от наглядного понимания некоторых парадоксов термодинамики и оптимизации работы технических систем до улучшения электронных схем и составления победной стратегии игры на фондовом рынке… Эбботт также известен как исследователь стохастического резонанса — парадоксального, на первый взгляд, явления усиления полезного (периодического) сигнала в нелинейных системах при добавлении к нему белого шума, …[что] находит применение в электронных системах.»

  22. 905ank:

    Очень хорошая задачка, на ней мы учили теорию игр. Там еще есть куча разных стратегий и у каждой своя прибыль. Есть стратегии приносящие больше 50% вероятности получить хороший конверт.

    А рассуждения неправильные выше, так нельзя считать.

  23. Rorega:

    Бабе денег не давать вовсе, всеравно просрет. Бабы они такие.

  24. Retam:

    у нас получается нефиксированная сумма, тогда задача работает. я думаю, с таким же успехом можно сформулировать задачу «если ты поменяешь конверт, получишь один доллар», и тоже придти к выводу, что надо менять.
    попробуй сказать, что фонд составляет 15$, и Али резко расхочется меняться.
    но это мнение, точного решения я не помню.

  25. Retam:

    потрясающей бесполезности комментарий.

  26. 905ank:

    интересная наука
    Вот правильная вероятность того, что ты получишь.

    Факт, что ты выигрываешь от обмена — не противоречит математике. Люди неадекватно оценивают потери и выигрыш, поэтому кажется что это парадокс.

  27. Nizelo:

    Да. Все упирается в то, что по условию задачи фонд не известен. А он известен — ведь туда деньги клал кто-то

  28. Namef:

    Я выбираю приз!

  29. Oloort:

    подколол!

  30. Avielo:

    итак, вы отказываетесь от денег?

  31. Ehzpp:

    Куда более часто в интернете встречается задача двух стульев.

  32. M2yod:

    В каком конверте взятку дашь, в каком поздравление матери отправишь?

  33. Murunes:

    sololo:
    правильный ответ: женский.

  34. Newton22:

    еще одна моя мысль
    рассмотрим 2 игры:
    в первой игре в одном конверте 10$ в другом 5$
    и вторая игра в одном 10$ в другом 20$

    в первой и второй игре нам достаётся конверт с 10$
    если мы 2 раза оставляем себе конверт, то получим 20$
    если меняем, то 25$
    исходя из этого кажется, что при достаточно длинной игре мы будет всегда в плюсе.

    Но это будет только тогда, когда последующая сумма не будет отличаться на более или менее 25% ( (25$-20$)/2 = 2,5$, 2,5$/10$= 25:

    например: если мы сыграли тысячу игр в которых номинал конвертов был 1$, 2$ и 3$, а в 1001ю игру нам достанутся конверты номиналом 0.5 млн и 1 млн, то не зависимо от результатов первых 1000 игр, исход решится в последнем раунде.

  35. Newton22:

    хотя что-то я уже не согласен со своими выводами)

  36. Newton22:

    теперь я считаю так:
    сумма выигрыша ограничена, не может быть бесконечным числом или нулём.
    так как суммы в конвертах генерируются случайно, там нам лишь надо знать верхнюю или нижнюю планку генератора, если мы не знаем планку, то использовать накопленный опыт.
    средне ариф-кое между этими планками и будет нам подсказывать,
    если в конверте меньше этого значения, то меняем конверт, если больше, то оставляем.

  37. Retam:

    я подожду, пока ты себя снова опровергнешь

  38. 1reodin:

    Ребята, тут есть две разные задачи.

    В задаче №1 тебе надо выбрать любой из двух конвертов, когда они еще не распечатаны, там вероятность действительно 1/2.

    В задаче №2 (которая тут обсуждается) конверты уже розданы, поэтому она, по-моему, вообще не из теории вероятностей, потому что вероятность уже произошла.

  39. 1reodin:

    dilesoft: Ну а что касается суммы выигрыша, В СРЕДНЕМ ты действительно выиграешь 5/4 X. Но что значит в СРЕДНЕМ? Если ты 100500 раз сыграешь в эту игру, ты в любом случае (обменяешь конверт или нет) выиграешь 5/4X * количество игр. Ну а в единичном случае это вообще как повезет.

  40. Oloort:

    dilesoft: наконец-то настоящий научный подход!

  41. Zvnre:

    Хороший пост получается. Так люди для себя открывают разные существующие подходы к проблеме вероятности.

  42. Oloort:

    а не только сидеть и зубрить перед сессией

  43. Rumekb:

    dilesoft: происходит событие, а вероятность — его характеристика. Да и то, при большом количестве опытов.

  44. Rumekb:

    все стратегии и вероятности срабатывают при нескольих раундах игры, и чем больше — тем лучше. И для стабильного заработка в 13 (или сколько там), в среднем, долларов нужны одинаковые условия — 10$ в один конверт и 5 или 20 в другой во всех опытах. Но за несколько раундов даже Али-Баба поймёт, что при 20$ в конверте меняться не стоит.

  45. Ki4am:

    Допустим Али открывает конверт и находит там 400 000 долларов.
    Он не будет меняться.

  46. 1reodin:

    А допустим Али-Баба открыл конверт, и там нет ничего. Что вероятнее?

    1. Получить два ничего.
    2. Получить половину ничего.
    3. Набить морду раздающему, чтобы отдать деньги.

  47. Muiort:

    Почему парадокс? В выигрыше оба, т.к. получили деньги на халяву.

  48. Ip2green:

    Если серьезно, то

    1) Парадокс возникает не тогда, когда мы задаемся вопросом почему обоим двум игрокам выгодно меняться конвертами. Ошибка возникает раньше, когда игрок, подсчитав мат.ожидание своего выигрыш, решает что в случае обмена он всегда выигрывает. Интуиция подсказывает нам что тут что-то не то, и на этот раз, в отличии от парадокса Монти-Холла, интуиция нас не подводит.

    2) Пусть х -количество денег в нашем конверте. Мы считаем средний выигрыш по формуле

    Е(выигрыш от обмена | x) = (2х + 0.5х) / 2

    Это формула не верна! Правильная формула выглядит как

    Е(выигрыш от обмена | x) = 2х* <вероятность того, что нам достался больший конверт> + 0.5х*<вероятность того, что нам достался меньший конверт>

    Вторая формула переходит в первую только если обе этих вероятности не зависят от х и обе равны 0.5. А это возможно только в том случае: если мы считаем что количество денег х с равной вероятностью может является любым числом от 0 до бесконечности. А это невозможно.

    3) Пусть х может с равной вероятность быть любым числом от 0 до У, где У — сколь угодно больше, но конечное число. Например, пусть У будет равно количеству всех денег в мире умноженное на количество атомов во вселенной. Этот задача практически идентична первой, но если аккуратно все посчитать, то парадокс исчезнет. Если мы подставим в <вероятность того, что нам достался больший конверт> любое корректное распределение вероятности, парадокс исчезнет

  49. CopRU:

    это не парадокс. А вот с конвертами действительно парадокс.

  50. Newton22:

    а если в конверте зарплата за месяц?

  51. 142on:

    причём если предположить, что x — натуральное число, равномерно распределённое от нуля до бесконечности, то станет ясно, что вероятность получить любое конкретное число равна нулю.

  52. 142on:

    а реальный мир и количество атомов это уже лишнее. Увидев сумму в 51% от числа всех денег на Земле, уже ясно что можно не менять.
    Да пусть там просто запись какого-то числа. Даже с «конвертом» размером с видимую часть вселенной и суперплотной записи на всех этих атомах — максимально возможное число просто смехотворно рядом с бесконечностью.

  53. Peein:

    По-моему, английская википедия дает довольно исчерпывающее объяснение. На мой вкус, вот эта и вот эта версии самые клевые и поставят в тупик по той или иной причине всех здесь высказавшихся. К счастью, там же есть вполне удовлетворительные объяснения.

    В ответ автору поста: 100% + 50% = 150%. Фигня выходит.

Добавить комментарий