Дана плоская бесконечная сеть из резисторов одинаковой длины и сопротивления R, соединённых квадратами (в каждом узле сходятся 4 резистора). Каково сопротивление на концах одного (любого) резистора?

Ещё более сложный вариант:

науко-научный сайт

GD Star Rating
loading...

61 Responses to Дана плоская бесконечная сеть из резисторов одинаковой длины и сопротивления R, соединённых квадратами (в каждом узле сходятся 4 резистора).

  1. RetZero:

    ты к чему это спрашиваешь? это же известная задача с четким известным решением, R/2 в первой.

  2. RetZero:

    ну и R/3 во второй, соответственнос

  3. supApp:

    а где решение? Я только про П-образную цепчку знаю. Там какая-то формула сложная.

  4. LetSm:

    условие задачи поставлено некорректно.
    Если это БЕСКОНЕЧНАЯ сеть по длине, и даже конечная в поперечнике, то сопротивление будет ноль, вне зависимости от топологии.

  5. LetSm:

    ну ладно, ладно приврал я немного.
    очень лень думать.

  6. Odako:

    Ой, как интересно! А доказать?
    Альтернативная схемотехника [х]

  7. YihYes:

    хм, в самом деле интересно.
    я склоняюсь к тому, что R и останется.
    падение напряжения на остальном участке цепи будет стремится к бесконечности, значит участок цепи 1 резистора будет стремится к R.
    давайте еще идеи.

  8. Odako:

    Очевидно нет
    На рисунке в посте из А в Б можно пройти напрямую (R), можно из А вниз и вправо вверх (2R) и вверх-вправо-вниз (2R) включенные параллельно. Это 2R||2R||R=R/2
    Можно пойти еще дальше и увидеть, что каждый из обходных резисторов зашунтирован еще 2 — т.е. сопротивление каждого обхода 4/3R
    Тогда 4/3R||4/3R||R=2/5R=0.4R, и это все еще оценка сверху.
    Оценка снизу, в пол-пинка, 1/6R, в полтора пинка — 2/7R
    Итого ответ в пределах (0.28:0.4)R
    Как обычно в таких задачах должен быть трюк как сеть на себя повернуть
    Но ломает думать

  9. Kitno:

    Хм, ну что же, кому-то придется это сделать:

    науко-научный сайт

  10. RetZero:

    это олимпиадная задачка городского уровня для 11-го класса. ну когда-то могла бы быть.
    воткнем один провод в узел и будем лить туда ток I, а собирать на бесконечности где-нибудь. из соображений симметрии ясно, что по каждому резистору вокруг этого узла будет течь I/4. теперь уберем этот провод, а в соседний узел воткнем, и станем забирать оттуда ток I, а подавать на бесконечности. аналогично I/4 по каждому узлу. ну и, наконец, воткнем оба провода. принцип суперпозиции, ток на бесконечности ноль, ток в резисторе между узлами I/4+I/4=I/2, отсюда ответ.
    со второй схемой аналогично, а вот строгое решение задачки из комикса мне неизвестно. впрочем, я над ней не шибко думал.)

  11. Odako:

    Решение,по-моему, нифига не правильное. Ответ — может быть, а решение — не.
    в смысле не отражает зависимости тока от напряжения.

  12. RetZero:

    погодь. тебе что не нравится? последний этап? если мы пускаем I через схему и измеряем падение напряжения на ней (которое из правила Кирхгофа равно I/2*R), то сопротивление схемы будет U/I=I/2*R/I=R/2. что не так?
    если первый этап не нравится, то более строго это вводится словами «возьмем точки на бесконечности. у всех нулевой потенциал. соединим их проводом» и далее по тексту.

  13. Odako:

    Все вместе слегка смущает -льется ток, какое там напряжение никто не говорит — а потом оно вдруг единичным оказывается.

  14. supApp:

    «из соображений симметрии ясно, что по каждому резистору вокруг этого узла будет течь I/4» — из каких таких «соображений симметрии»?

    В задаче спрашивается о сопротивлении, а не токе. Если в резисторе между А и Б ток I/2, то сопротивление между А и Б — 2R (при U=const), а оно должно быть между 0 и R.

    И как такое решение подойдёт для случая бесконечного числа резисторов в узле? Т.е. нам дана бесконечная пластина с удельным сопростивлением 1 Ом/см (если взять её узкую полоску). Какой будет ток между точками, отстоящими на 1 см? Согласно этому алгоритму — 0.

  15. supApp:

    «мы пускаем I через схему и измеряем падение напряжения на ней (которое из правила Кирхгофа равно I/2*R)» — это ещё почему? Откуда мы знаем, что сопротвление всей схемы — R, если именно это и надо узнать из задачи?

  16. Nikblack:

    да, надо чуть усовершенствовать.

    Пусть в точку А приложено напряжение Н. Токи расходятся симметрично, то есть, равны Т/4 (Т/6), где Т — ток, входящий в точку А. Далее рассуждения Омметра, из которых следует, что через резистор, соединяющий А и Б течёт ток Т/2 (Т/3). Разница напряжений на концах этого резистора — 2Н. Следовательно, Т/2 (Т/3) = 2Н/С, где С — сопротивление одного резистора. Тогда сопротивление всей схемы СС (от произвольной точки до бесконечности) даётся соотношением СС = Н/Т = С/4 (С/6).

  17. RanMega:

    Куда приложен «0» напряжения?

  18. Nikblack:

    на бесконечность, естественно.

  19. Nikblack:

    у меня получился ответ к задаче из комикса 0,3 Ом.

  20. RanMega:

    тогда ток 0 и ничего не работает.

  21. Nikblack:

    если я, конечно, правильно понял условие.

  22. Nikblack:

    нет, я понял неправильно, правильное решение интересное.

  23. supApp:

    «Токи расходятся симметрично» — откуда это следует?

    «Разница напряжений на концах этого резистора — 2Н» — как это может быть, если напряжение Н мы подключаем к А и Б, которые им соединены?

  24. supApp:

    неверно, он должен быть в Б.

  25. PeeSpb:

    из каких таких «соображений симметрии»

    Предположим, что в одну из сторон («налево») должно обязательно потечь больше чем четверть тока. Повернем всю схему на 90 градусов. Имеем ту же схему, которая нарушает наше изначальное предположение. В результате мы вынуждены заключить, что ток потечет в равных количествах во все четыре стороны.

    В задаче спрашивается о сопротивлении, а не токе.

    Сопротивление — это отношение напряжения между точками к току между ними. Пусти в схему ток в 1 ампер, как тебе предлагает омметр, замерь напряжение (для этого тебе и нужно увидеть, что через один резистор пойдет пол-ампера), подели напряжение на 1, получишь ответ.

    И как такое решение подойдёт для случая бесконечного числа резисторов в узле? … Согласно этому алгоритму — 0.

    Нет, согласно этому алгоритму такой расчет провести уже не получится. Ноль там получается как сопротивление на концах одного резистора, который в приведенном тобой пределе будет бесконечно малого размера. Т.е. ответ «ноль» здесь — это сопротивление между точкой А и ей же самой.

  26. PeeSpb:

    Вторая задача в посте решается так же, там только «соображения симметрии» чуть хитрее. Если внимательно приглядеться, можно увидеть, что там однако тоже ток должен разливаться поровну между шестью резисторами, отсюда имеем ответ R/3.

  27. Odako:

    нет,все правильно.
    Принцип суперпозиции — складывает две сети: одна на бесконечность отдает ток, другая забирает; сумма двух имеет нулевой ток на бесконечности

  28. Rumblack:

    да, сдвигом соседних рядов сеть модифицируется в равносторонние треугольники

  29. AkhSm:

    Между вот этими точками — Rэкв = R/3

    науко-научный сайт  333x271, 49.31 kb

  30. AkhSm:

    Ой, то есть Rэкв = R*(1/3)

  31. Nikblack:

    к А подключено Н, к Б подключено –Н.

    Симметрия токов доказывается так: поворачивается вся сеть на пи/2 и замечается, что новая сеть такая же, как и предыдущая.

  32. Nikblack:

    правильное решение получается следующим образом:

    Квадратная сеть. Интересует ток, идущий по прямой АВ, когда подключение следующее:

    Когда потенциал Н только на А, то через АБ идёт ток Т/4, где Т определено из предыдущей задачи (4Н/С). Через БВ тогда идёт ток Х. Аналогично, когда потенциал -Н только на В, то через БВ идёт ток -Т/4, а через АБ — -Х. В итоге при суммарном подключении ток будет идти через АБ и БВ Т/4 + Х. Значит, падение напряжения на АВ — (Т/2 + 2Х)*С, это понятно. С другой стороны, падение это равно 2Н. Таким образом Х = Н/С — Т/4.

    Аналогичными рассуждениями можно проследить за токами по произвольной траектории. Но на самом деле это будет излишним. Достаточно просто определить токи, которые вытекают по всем направлениям из А (из симметрии такие же токи втекают в другой контакт).

  33. Odako:

    А там все элементы равноправные — это треугольная сеть так смешно нарисована

  34. AkhSm:

    Результат-то верный или нет?
    Я давным-давно считал решение для квадратной сетки, без «диагонального» резистора, результат уже не помню, правда.
    По-моему тоже около трети R получился.

  35. Odako:

    Видимо да, 1/2 для квадрата, 1/3 для треугольника

  36. supApp:

    а что тогда делать с бесконечной пластиной-резистором? Какое будет сопротивление между контактами А и Б (АБ = 1 см), зная удельное сопротивление?

  37. Odako:

    с бесконечной платиной — расходимость на размере контакта, для точечного контакта уйдет в бесконечность

  38. RetZero:

    очень смешно. удельное сопротивление бесконечно тонкого провода? бесконечность, че.

  39. M2ynode:

    Я бы не стал спорить о значении сопротивления с юзером омметр.
    Вы же с амперметром о силе тока не спорите?
    Или с термометром о температуре воздуха?

  40. PeeSpb:

    Но при этом там количество проводов на сантиметр растет пропорционально, так что в пределе должно получиться какое-то осмысленное значение.

  41. PeeSpb:

    Считать пределы.

    Надо решить изначальную задачу для точек А и Б, разделенных двумя, тремя, …, n резисторами. Потом пустить n бесконечность, а R в нуль в правильной зависимости от n. Основная сложность в первом шаге. Решается занудным и внимательным подсчетом. Мне лень.

  42. RetZero:

    ну в пределе и получаем нормальное значение для сопротивления между парой точек. а задача поставлена очень плохо.

  43. RetZero:

    не, ну это нечестно!

  44. PeeSpb:

    Где же она плохо поставлена? Вполне нормальная задача, в некотором смысле типичная.

  45. RetZero:

    ну автор имеет в виду удельное сопротивление бесконечно тонкого провода, судя по его аналогии

  46. Odako:

    Откуда «провод»? Речь шла о пластине — и это 100% реальная задача. Пленка чего-то на изолирующей подложке

  47. supApp:

    ну да, именно так. Но удельное же считается как Ом·м.

  48. Odako:

    или, для такой системы, ом на квадрат

  49. RetZero:

    И как такое решение подойдёт для случая бесконечного числа резисторов в узле? Т.е. нам дана бесконечная пластина с удельным сопростивлением 1 Ом/см (если взять её узкую полоску).
    ВОТ ОТКУДА УЗКИЙ ПРОВОД

  50. RetZero:

    эм. это второй закон кирхгофа для цепи вход-резистор-выход. падения напряжения так считается, умножается ток участка цепи на сопротивление этого участка.

  51. Odako:

    Понял ваши сомнения. Я лично это читаю так: возьмем чугуниум с сопротивлением Х, раскатаем его в фольгу — и далее по тексту. Узкая полоска, ИМХО, подразумевает измерение сопротивления на образце конечного размера (узкий х тонкий х длинный мм) вырезанного из такой фольги

  52. RetZero:

    нет, ты не понял. человек пытался свести задачу по отысканию сопротивления непрерывной плоскости к задаче с дискретными резисторами (опустим тот момент, что не доказано, что она вообще сводима). для этого он стал уменьшать линейные размеры резистора и сетки в целом, но не перестал считать его интерфейсом с двумя точками. в его понимании сопротивление этого резистора зависит только от его длины (ну правильно, два резистора дадут в два раза большее сопротивление), от какой-то константы (назовем ее удельным сопротивлением), но не от поперечного сечения, потому что какое тут поперечное сечение, если мы оперируем сеткой нулевой толщины?

    все претензии были именно к этому, к неправильной формулировке задачи. сама задача «есть линейное удельное сопротивление, найти разность потенциалов в паре точек плоскости» представляет интерес и решается без интерполяции сеткой. подозреваю, что опять сработает аналогия «влили-вылили», только теперь интересны будут эквипотенциальные круги вокруг точки контакта и зависимость потенциала от радиуса.

  53. Odako:

    Да, вопрос насколько такая сетка сводится к непрерывной плоскости — это отдельный вопрос.
    А вообще задача про 2 точечных контакта к плоскости содержит множитель ln(1/r), где r — радиус контактной иголки. При уменьшении иголки сопротивление растет в бесконечность. И есть пара смешных трюков, как это обойти для измерений.

  54. UkiEkb:

    А почему R/3, a не R/6?

  55. Odako:

    потому что 2 тока складываются

  56. KulMsk:

    объясните почему не 0?

Добавить комментарий