Математики! А вот объясните мне, в чем тайни смысл числа e. На матане нас заставляли учить разные закономерности с этим числом, но так и не объяснили, на кой черт это число открыли и для чего оно используется в повседневной жизни?

Позязя!

image

GD Star Rating
loading...
Математики! А вот объясните мне, в чем тайни смысл числа e, 10.0 out of 10 based on 2 ratings

134 Responses to Математики! А вот объясните мне, в чем тайни смысл числа e

  1. Ak7:

    Чтоб забить твою голову лишними данными, очевидно.

  2. M21:

    На пальцах? На пальцах!

    В математике есть два иррациональных и трансцендентных числа, на которых построено все, что ты видишь вокруг.
    Все электродвигатели, машины, приборы, самолеты, компьютеры, ракеты и велосипеды и вообще все что движется (и даже что не движется, но хочет двигаться) так или иначе построены на двух фундаментальных константах — е и Пи.

    Пи встречается везде, где речь идет о чем–то круглом. А круглое вообще кругом, даже обычный ток в розетке — тоже «круглый» (ибо изменяется по синусоиде), поэтому Пи там в полный рост.

    е же появляется практически всюду, где речь идет о бесконечностях или стремлении к ним. А это в современном мире тоже практически везде, хоть и не так очевидно, как с «круглым» Пи.

    Простой пример. Ты положил деньги в банк на год, и тебе обещают 100 процентов годовых. Это значит, если ты положил 100 баксов, через год получишь 200. А если поступить умнее? Если процент все тот же, 100 годовых, но перерасчет делать не раз, а дважды в год?

    Т.е. прошло полгода, из своих 100 долларов ты получил 150 (потому что процент 100%, но прошло всего полгода, поэтому прибыль только 50%, т.е. 150 долларов). Потом прошло еще полгода, но оставшиеся 50% будут начислены уже на 150 долларов, а значит в сумме получится 225 долларов, а не 200 как раньше.

    Следовательно ничего не меняя в процентной ставке, лишь пересчитывая ее чаще, ты получаешь больше! (Ага, можно не увеличивать мне зарплату, но хотя бы платить ее почаще? : )

    Если пересчитывать проценты не раз в полгода, а каждый месяц — суммарный выигрыш в конце года получится еще больше.
    Если каждую неделю — еще больше. Каждый час — еще больше.

    В конце концов, когда мы начнем пересчитывать проценты каждую секунду, все приближаясь к бесконечности, мы получим все большую прибыль, которая чем дальше, тем ближе стремится к тому самому числу е.

    Это значит, что хоть укакайся, но при такой схеме больше чем в 2.718281… раз от первоначальной суммы мы не получим.

    Короче, если видишь где–то бесконечную последовательность действий, сужающуюся к какому–то пределу, помни, где–то там затаилось число e

  3. Xeen:

    Логарифмическая спираль как итерация к недостижимой вершине и круг как символ этой тщеты.
    Всё так, друзья. аможетлучше.jpg

  4. PeBam:

    Пи фуфло. Даешь тау!!!

  5. M21:

    Да ну его, это тау. Оно всего лишь 2Пи. Нафига множить (в данном случае в два раза) сущности?
    Лучше сокращать.

  6. Re6:

    Извините! Мне надо срочно в банк!

  7. PeBam:

    Там в тексте на самом деле очень убедительно написано почему «пи» — именно что множит сущности (ибо на практике рядом с Пи почти всегда болтается двойка).

  8. NiHonda:

    банкиры не такие дураки, Re6.

  9. Hz007:

    пи пополам!!!!

  10. NiHonda:

    В повседневную жизнь е врывается через простейшее из важнейших дифференциальных уравнений: у’ = у. Суть его проста: изменение величины пропорционально самой величине. Интуитивно это понятно: количество детей в городе пропорционально в грубом приближении его населению, производство механизмов пропорционально уже готовым механизмам, прибыль пропорциональна обороту и капиталу. Решение такого диф. уравнения — экспонента, число е в степени времени (аргумента функции у). Таким образом подавляющее большинство простых и хорошо работающих моделей чего угодно содержат экспоненты.

    С математической точки зрения экспонента — одна из самых приятных функций, проще неё только константа. Из вида дифференциального уравнения, которым она задаётся, видно, что производная от экспоненты равна самой экспоненте. Благодаря этому она дифференцируема бесконечное число раз. При этом даже формы не меняет! Это здорово, поверь. А ещё она всюду положительна и ноль только на минус бесконечности — изумительное свойство, достойное быть воспетым в бронзе. Есть только одно свойство, иногда неудобное — на бесконечности экспонента бесконечно велика.

    А дальше такие отрывки истории.

    … Когда–то было замечено, что четвёртая производная от синуса равна синусу, то же с косинусами. А вторая производная синуса (косинуса) равна минус синусу (косинусу). Вот только первая производная подкачала: синусы переводит в косинусы, косинусы в минус синусы. Хотя, тоже ведь недалеко уводит, верно?..

    … Что будет, если интегрировать синус и косинус по периоду? Ноль. А квадрат — уже не ноль. А что, если интегрировать их произведение? Синус на косинус — синус двойного угла — ноль. И это очень круто. Потому что обобщается на интегрирование произведений синусов и косинусов с синусами и косинусами по любым кратным углам — получается ноль. А это значит, что… Короче, благодаря этому любую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье (сумма с коэффициентами синусов и косинусов кратных углов). Любую непериодическую — в интеграл Фурье. Фурье — голова. Я бы ему палец в рот не положил бы…

    … А потом открыли мнимую единицу и комплексную арифметику. После чего придумали способ связать синусы и косинусы (привет круги и вообще все периодические процессы) и экспоненту — вот когда самый смак с жирком потёк. Благодаря безумной простоте экспоненты и дивному свойству синусов и косинусов раскладывать любую функцию стало возможным описывать практически любые процессы. Наиболее простые и, по удивительному совпадению, самые полезные представляются комплексными экспонентами. Кроме того, развитой на этом формалистике удалось решить и более сложные модели, где появляются специальные функции — ноги у них растут из комплексной экспоненты и обычной экспоненты.

    Динамика рынка — экспонента. Падение спроса — экспонента с отрицательным временем. Напряжение в розетке — комплексная экспонента. Почти везде, где есть рост или затухание — экспонента, почти везде, где есть периодический процесс — комплексная экспонента.

    В квантовой механике волновая функция частицы пропорциональна комплексной экспоненте. В оптике, механике, электродинамике, термодинамике — почти во всей физике так или иначе экспонента играет центральную роль. Вот так.

    Более того. Закон нормальной дисперсии — экспонента от квадрата отклонения, так называемый гауссов колокол. Поэтому почти любая погрешность, отклонение, колебания вокруг среднего описывается тоже экспонентой.

    Постоянная е названа в честь Эйлера. Имена Эйлера, Фурье (и ещё Тейлора) в современной технике значат больше, чем имена всех Эйнштейнов с Ньютонами вместе взятых.

  11. Xeen:

    Такое вот читаешь, и вспоминаешь что когда–то в детстве хотел быть чем–то вроде Г. и Я. Перельманов, целокупно. И еще разными.
    А сейчас вот выросло только до холодильника дойти, за заправкой.
    «эх, йобаный жизнь. восэмь»

  12. NiHonda:

    ну, это тяжёлая работа. И физически — посмотри на среднего учёного или математика, и психически — многие с ума сходят, остальные всегда немного не в себе.

  13. HcZen:

    Посмотри фильм «ПИ». Очень интересно. Там и про Пи и про e.

  14. Raenko:

    e нужно чтобы возвести его в степень пи*i

  15. LoDr:

    И это научная блог. Пойду на гурман, покрывать маянезиком фуагру. И, да. Пусть Лев Николаич ещё раз родится…18281828..

  16. RuJobs:

    у нас размерность пространства Пи, зачем нам тау?

  17. RuJobs:

    а вот попробуй на гурмане спроси, почему они не любят «маянезик», что в нём плохого и почему его любят обычные люди.

  18. PeBam:

    У нас размерность пространства тау, зачем нам пи?

  19. LoDr:

    пробовал. ещё хуже. тут хотя бы слайтум, дай бох ему здоровья, подробно отвечает.

  20. M21:

    И правда, как хорошо, что у нас есть я!

  21. LoDr:

    Всё шутишь, да? Ни слова в простоте.

  22. M21:

    Какие нахрен тут шутки? Разве это плохо, что у нас есть я? На мой взгляд — так просто заипца как хорошо.
    Для тебя так вообще критично — не было бы меня тут, и тебя бы тут не было… 😉

  23. Atap:

    как здорово, что все мы тут, в блоге, собрались)

  24. LoDr:

    Ой, смотри, Артём, допросишься) Вон, давно уже Лену удерживаю от поста на главной, в стиле «а давайте». А давайте хвастаться блогопапами в смысле. Наш блогород, хоть и захудалый, но древний)

  25. M21:

    Чего это он захудалый–то?

  26. LoDr:

    Так кроме тебя и почитать некого. мульт_ис ещё, разве что только. Ну и Приметта. И Полина. И вообще. Да не, не захудалый, ты гонишь.

  27. Atap:

    кстати — кто–то пост обещал

  28. Leaev:

    На пальцах проще ткнуть во второй замечательный предел)

    У меня нелюбовь к числу е после курса по «теории надежности» (или как–то так назывался курс). Аппаратура типа выходит из строя не как попало, а исключительно по экспоненте. Все бы ничего, но тупой препод заставлял решать на калькуляторах задачи с чудовищной точностью. Меня это страшно злило. То есть эмпирические цифры в условии задачи, бездоказательная кривая выхода из строя (с какими–то коэффициентами) и из всего этого делаем типа точные выводы.

  29. Eceev:

    Или пост–акция «Проплюсуй Родителя». Где ты обязан проплюсовать все комментарии родителя, что бы он ни писал.

  30. OkMith:

    Простите, а разве плюсование прямых блогородственников до третьего колена — не обязательное условие приглашения на блогу? Нет?

    Маааам…!

  31. Suoff:

    Как удивительно все с этим числом. Вроде в теории понятно, в том числе и пример, и следствие, а как его «пощупать», все равно неясно. С «пи» проще — там можно вырезать из бумаги круг, внимательно оглядеть его сначала по окружности, а потом по радиусу, и тогда все станет ясно.

  32. Suoff:

    Интересно, а почему в текущем мире числа «пи» и «е» имеют именно такое значение, какое имеют? Ну, по принятой системе счисления…

  33. Suoff:

    помедленней, пожалуйста…

  34. Re6:

    а про е мультик можно?

  35. NiHonda:

    тут эцсамое, мне совершенно справедливо сообщили, что история безбожно переврана. Ну то есть, сначала Казань взяли а потом уже Петродворец. И там про ньютонов я погорячился. После десяти вечера обычно упорот — в хорошем смысле — бываю, так что простите Христа ради.

  36. Krapin:

    потому что мир такой, т.е. геометрия. да и то, в идеале. пи может быть и не обязательно 3.14 (между 3 и 4, афаик, может меняться), зависит от метрики.

  37. Siapin:

    Спасибо.

  38. RuJobs:

    главное — настроение передал 🙂

  39. ElNorma:

    Я когда–то читал курс теории надежности… :–)
    (Года три подряд.)

    Все верно: интервалы между событиями в простейшем потоке распределяются экспоненциально.

  40. ElNorma:

    Всеж знают, что из e, можно вычислить π?

    e2πj= 1, где j = мнимая единица.

    Таким образом, число e имеет известное значение только в нашем пространстве, в другом, где соотношение длинны окружности к её диаметру другое, поценты в банке будут вычисляться тоже по–другому.

    Так вот приходишь в банк, а тебе: «извините, но в нашем пространстве проценты по депозиту получились отрицательными, так, что вы нам еще должны!»

  41. ElNorma:

    Прошу пардон, немного подкорректирую формулу:

    e2πj= 1, где j = мнимая единица

  42. AmDen:

    коррекция формулы была в убирании точки в конце?

  43. ElNorma:

    :–)))

    Нет просто почему–то закрывающий тег </sup> переносится в конец сообщения.

    Вот еще раз пробуем написать:

    e<sup>2&pi;j</sup>= 1, где j = мнимая единица

    И смотрим, что получится:
    e2πj= 1, где j = мнимая единица

  44. Re001:

    Математика, слава богу, абстрактна и может существовать без привязки к какому–либо миру и системам счисления.

    Это 1 метр можно определить и как сейчас, и как расстояние до солнца. Он берётся из параметров мира.

    А вот 1 из множества вещественных чисел, определённогоаксиоматикой — это число, на которое какое второе число не умножь, получится второе число.

    Определение предела, тоже не зависит от свойств мира.
    Вот и получим, что число «е», как и «пи» будут всегда 2.71828… и 3.1415…

  45. ElNorma:

    Вот вдумайся в то, что ты сказал:

    «одно из свойств мира не зависит от свойств мира»

  46. ReRo:

    и, кстати, производная от степенной функции f(x)=ex равна самой этой функции ex

  47. Noenko:

    ээээ, какую то ты ерунду написал. точнее нереальный частный случай:

    image

    а реально то как эту e в расчетах используют? чтото там с кривой доходности, но не помню точно.

    Как–то там расчитывается гладкая кривая доходности. Напомните суть теории?!

    Согласно теореме об аппроксимации Вейерштрасса существует класс
    функций, позволяющий с произвольно малой погрешностью приблизить любую другую
    непрерывную функцию. К числу функций такого класса относятся полиномиальные и
    экспоненциальные функции. Выбор параметрической функции из упомянутого семейства в целях
    решения конкретной задачи с использованием полученных процентных ставок представляет собой
    достаточно сложную задачу, выступающую при необходимости предметом отдельного
    исследования. В настоящее время применяются несколько моделей, различающихся между собой
    функцией, используемой при выведении процентных ставок, а также методом анализа
    получаемого эконометрического уравнения.

  48. M21:

    Скажу больше, не только производная, но и первообразная!

    P.S. Ухожу, ухожу, а то сейчас кто–нибудь вспомнит анекдот, про психов–математиков в сумасшедшем доме…

  49. Re001:

    Конкретнее можно?

  50. HcZen:

    любимый анекдот препода матана)

  51. RuJobs:

    преподов

  52. Au00:

    там все хуже, его сучки бегают за ним и на всех бросаются, так вот родитель–предводитель.

  53. ReRo:

    а константа?

  54. LoDr:

    А сейчас анекдот про математиков и официантку.

  55. Raenko:

    мой тоже любил. Его фамилия была Шатский.

  56. M21:

    Какой анекдот, это же реальный случай!
    Многие божатся, что лично присутствовали при разговоре с этой официанткой, некоторые даже втихаря подсказывали ей про константу…

  57. 6ar:

    Давайте теперь такую же ботву про производную и интрегалы™ разведем!

  58. ElNorma:

    Если мы придумаем с тобой математику, в которой пи=4, а е=5, то это будет очень интересно, но навряд ли полезно для непосредственного применения в практических науках. Что толку физикам и уж тем более инженерам пользоваться формулами, которые дают не соответствующий действительности результат?

    Не смотря на свою абстрактность математика ценна тем, что отражает реальный мир. А точнее применима к реальному миру. Так что пи и е это не просто плод фантазии, это свойства именно нашей вселенной, именно нашего пространства.

    Даже такие, казалось бы, невозможные вещи, как мнимая единица, имеют вполне себе конкретное практическое применение в инженерии, в частности в электротехнике. С её помощью рассчитывают процессы, протекающие в электрических цепях переменного тока.

    Так что высосанных из пальца вещей, нашедших широкую популярность, в математике нет. Математика — это язык, и описывает он именно нашу вселенную, ну или хотя бы обозримую её часть.

    А вот как будет выглядеть математика в другом мире, с другими свойствами пространства, и вообще, возможно ли пространство с другим значением пи, это уже вопрос. Или например, возможен ли мир с другими свойствами натурального ряда? Или с другой логикой? Вопросы тоже очень интересные.

  59. Re001:

    >>Если мы придумаем с тобой математику, в которой пи=4, а е=5.
    Я же выше написал, что это невозможно. Если под е ты понимаешь не символ, а значение к которому стремится второй замечательный предел — оно всегда будет 2.71828… В любом мире. Если оно будет равно 5, то ты приёдешь к противоречию.

    Математике не необходимо существование мира. Ей достаточно несколько аксиом и правила логики. Всё остальное выводится из этого. Безо всяких применений. Она самодостаточна в своей абстракции и это прекрасно.
    И да, её можно применять для построения моделей процессов, протекающих в мире.

    И самое главное — прочитай внимательно хотя бы википедию про комплексные числа или геометрию Лобачевского. Особенно пункты с историей. Ничего этого и близко не стояло к применению.
    Сначала появлялась красивая теория, строилась база, теоремы, определения новые. И только потом иногда находились применения.
    Греки изучали свойства эллипса более чем за тысячу лет до того, как Кеплер использовал их идеи для определения траекторий планет. Математический аппарат теории относительности был создан за 30–50 лет до того, как Эйнштейн нашёл для него применение в физике.

    Так что вся математика строилась на вещах,в твоей терминологии, высосанных из пальца, а на деле же, построенных в абстрактных условиях и в рамках логики.
    Так что ты, к сожалению, заблуждаешься почти полностью, почти во всём своём комментарии.

  60. PeBam:

    На мой взгляд в этом посте так никто и не дал красивого ответа на то, в чем фундаментальность числа е. На мой взгляд, объяснения через замечательные пределы и свойства производной неплохи, но ни одно из них не указывает на некое единое фундаментальное свойство этой константы. Все они лишь следствия важности данного числа.
    Я сам для себя так и не придумал хорошего, устраивающего объяснения, но давайте я накину личных спекуляций, за которыми, я уверен, должна где–то скрываться истина. Если кто–нибудь развил бы идею, было бы клево.

    Вкратце, я вижу уникальность числа е в том, что оно играет для умножения примерно ту же роль, что и единица для сложения. Поэтому давайте сначала поймем, почему единица важна для сложения?

    Формально, по определениям, в аддитивной группе действительных чисел есть одно действительно важное число — ноль. Оно играет понятную роль в операции сложения: x+0=0.
    Однако помимо нуля немалую роль в той же самой группе играет и единица. Ведь начиная с единицы, пользуясь сложением, можно постепенно выстроить все целые числа. А если записать х сложений единиц в виде «x..1» и обобщить слегка, мы получим что любое число a выражается через единицу как «a..1». Но почему именно единица? Ведь с тем же успехом можно построить все числа и на 0.5, или 1.3 или в виде кратных любого другого числа. Именно единица, в определенном смысле, «наиболее удобна», хотя красиво объяснить это я пока не умею. Именно начиная с единицы Пеано выстраивает все числа.

    Другими словами, как только мы решим представлять числа в виде кратных некоего числа C (в виде a..C), магическим образом оптимальной базой оказывается C=1. Если мы хотим считать, прикладывая палочки друг к другу, наш лучший выбор — придать каждой палочке значение «1».

    С умножением та же фигня. Так же как «складывая единицы» (и слегка обобщив) мы можем получить все числа, «умножая e друг на друга» (и слегка обобщив) мы получим все положительные числа. И точно так же как и раньше, мы можем выбрать в качестве базы любое число, но информативно наиболее эффективным оказывается именно «e». Объяснить почему здесь наиболее информативно именно «e» мне настолько же сложно как и объяснить выше, почему фундаментальна именно единица. Но именно отсюда вытекает что как только что–то связано с бесконечными умножениями, оптимальным выражением для предела оказывается что–то с участием е.

    Мне кажется один подход здесь может быть связан с ролью е в виде абстрактной «самой эффективной основы позиционной системы счисления». Классический пример таков:
    Предположим нам нужно записать каким–то способом число х от 0 до 15.
    Один способ — нарисовать 16 квадратиков, и отметить один из них. Будем говорить что на запись тут у нас ушло «16 регистров». Но можно подойти и по–другому. Можно нарисовать 8 квадратиков в верхнем ряду и 2 квадратика в нижнем. В верхнем отметить квадратик «x mod 8», а в нижнем — квадратик «x div 8». В результате мы сможем записать одно из 16 событий всего 10 регистрами. Аналогично, можно записать 4 ряда по 2 квадратика и отметить их в соответствии с двоичным представлением числа х — понадобится всего 8 регистров. В общем случае, мы увидим что n рядов по к квадратиков позволяют записать n^k различных чисел. Положим у нас есть фиксированное число «регистров», т.е. n*k = сonst. Как выбрать n и к, чтобы максимизировать n^k? Т.е. в какой системе было бы наиболее эффективно записывать числа вообще? Несложное вычисление покажет, что оптимальной базой здесь являлось бы число e. Т.е. в идеале для записи n^k различных чисел таким образом нужно минимум log(n^k) рядов по «e» квадратиков, чтобы это ни значило.

  61. ElNorma:

    Ну иногда сложно выйти за рамки устоявшихся представлений.
    Как говаривал один ученый про бывшего своего ученика, и ставшего, то–ли писателем, то–ли художником: «для математика у него было слишком слабо развито воображение».

    Вы утверждаете, что невозможен мир в котором е не было был равно 2.7, иначе мы придем к противоречию. Если уж у нас идет хоть сколько–нибудь научный спор, то это утверждение нужно доказать? Такое доказательство есть? Для меня, например, — это лишь открытый вопрос. Другое дело, как будут выглядеть все остальные свойства того мира. Не повлияет ли это, например, на свойства натурального ряда, на логику. Возможны ли другие свойства натурального ряда? Возможна ли другая логика? Возможен ли мир, где понятие противоречия отличается от нашего? Или такой, в котором возможны явления противоречивые для нашего.

    Наконец, можно ли придумать непротиворечивую теорию, которая не имела бы никакого практического смысла в нашем мире? Есть ли такие теории? Может быть «высосанные из пальца» теории Эйлера и стали популярны из–за того, что им есть применение на практике. А другие математические изыски так и не вышли за рамки первой публикации, по причине своей бесполезности?

    А теперь давайте в качестве итога моего коротенького выступления зададимся вопросом: допускаете ли вы возможность существования вселенной с другими свойствами, например, пространства? (Такой, разумеется, чтобы наша не была частным случаем той другой, а та другая не была частным случаем нашей.)

  62. Re001:

    Забавно, что цитату Гильберта использует человек, который хочет мыслить только прикладной математикой и отрицает чистую математику. Математику, существующую в абстракции, понять которую можно именно только использовав воображение.

    Цитата хороша, только, к вашему сожалению, работает против ваших рассуждений:)

    Блин, жалко нет времени отвечать раскрыто. У меня завтра дедлайн по сдаче кандидатской диссертации,а мне еще надо вывод подправить. Но кратко опишу:

    >>Вы утверждаете, что невозможен мир в котором е не было
    >>был равно 2.7, иначе мы придем к противоречию. Если
    >>уж у нас идет хоть сколько–нибудь научный спор, то это
    >>утверждение нужно доказать?

    И это вы пытаетсь назвать «сколько–нибудь научный спором»?
    Где я написал, что невозможен какой–то мир?
    Это называется подмена тезиса оппонента и является одним из распространённых методов демагогии.

    Я написал, что невозможно ваше «придумать математику другого мира». Ибо то, что мы вкладываем в понятие математики вкладывает в себя понятие метаматематики, формальной логики и базовых понятий и аксиом, таких как множество.

    Так вот используя эти, вложенные в понятие математика, логику и базовые понятия — математика выстраивается сама на себе. Это проходится на первых парах матана и можно прочитать в любой литературе про формальную математику.

    >>Наконец, можно ли придумать непротиворечивую
    теорию, которая не имела бы никакого практического
    смысла в нашем мире?
    Конечно нельзя 🙂
    Можно придумать задачу и дать её на экзамене «В такой–то теории, есть то–то, доказать то–то и то–то». Автоматически решение это задачи
    а) сводится к использванию той теории
    б) используется для сдачи экзмена и в метазадаче «студента, решающего эту задачу» вполне себе прикладная 🙂

    >>Может быть «высосанные из пальца» теории Эйлера и >>стали популярны из–за того, что им есть применение на практике.

    Причем здесь популярность? Ну что за социология? Математика, что живопись, чтобы оценивать её по популярности?
    Я говорю, что великие математики решали задачи, которые существовали лишь в их головах. Просто ради математики.
    Они это делали не ради популярности этой теории через 100 лет. Они создавали абсолютно абстрактнейшие теории.

    Да и вообще.. вы как–то не правильно понимаете научный спор. Смотрите:

    Ваш тезис «Так что высосанных из пальца вещей, нашедших широкую популярность, в математике нет».

    Я вам примеры, когда теории, когда создавались — были неприменимы на практике. Были «высосаны из пальца» в вашей терминологии. Потом они нашли широчайшую известность. Что мы имеем?
    Примеры «высосаны из пальца», примеры «нашли широкую популярность. «
    Прямо противоречие вашему тезису.

    Если бы вы вели научный спор — вы бы написали, что да, этот тезис был ошибочен.

    Вы же ответили:

    Может быть «высосанные из пальца» теории Эйлера и стали популярны из–за того, что им есть применение на практике.

    К чему это? Ваш тезис уже разрушен и эта фраза никак его не поддерживает. Да, они стали популярны, потому что им нашлось применение. Но создавались то теории «высасыванием из пальца». Без всяких применений.

  63. Re001:

    Ах да, последний абзац:

    Я — ангостик. Так что я не знаю существует ли, или не существует. Но допускать могу всё что угодно. Я же не ограничен применением своих мыслей только на наш мир 😉

  64. ElNorma:

    Ну давайте аккуратно по пунктам:

    1. Где я написал, что невозможен какой–то мир? … Я написал, что невозможно ваше «придумать математику другого мира».

    То есть возможность существования другого мира вы не отрицаете, но за–то утверждаете, что в нем не может быть другой математики. Хотелось бы уточнить:

    а) в другом мире все равно будет та же самая математика, что и у нас, или
    б) в нем в принципе невозможна математика? :–)

    Если первое, то это уже не другой мир (в нашем с вами контексте), а такой же. Все остальные различия нам с вами не интересны. А если — второе, то какжеж бедным жителям той вселенной развивать науки и технологии, без количественного описания ихней вселенной? Жалко как–то их. :–)

    Итак, уточните: либо вы допускаете возможность существования других миров (требующих для своего количественного описания другой математики), или не допускаете. Причем, еще раз уточню: я говорю не о таких отличиях, которые бы потребовали другой физики или химии, а математический аппарат годился и бы и наш. А именно математики, вместе с фундаментальными константами, в том числе и e.

    Вы уверены, что невозможно придумать непротиворечивую математическую теорию, в которой бы е имело бы другое значение? Вы упоминаете аксиоматику. А вы уверены, что невозможен другой аксиоматический ряд, на базе которого возможно было бы построить непротиворечивую теорию, и который бы привел к другому значению е? Такую невозможность нужно еще доказать, как вы помните…

    2. Насчет того, что теория, не имеющая применения в реальном мире, полезна уже тем, что по ней можно сдать экзамен и получить хорошую оценку.

    Очень смешно. Но вы тем самым пытаетесь ускользнуть от весьма важного тезиса: теории (математические в данном случае) имеют различную степень практической применимости. Если на её основе можно построить модели, с достаточной точностью описывающие поведение реальных объектов, то она будет куда популярней, чем та, которая (пусть временно) никакого прикладного значения пока не нашла. Хотя бы потому, что об этой теории помимо математиков будут знать еще и представители тех, наук, где её пользуются. И это не просто статистика.

    Как бы вам не хотелось, задрав нос, говорить, что математике не необходимо существование мира, на самом деле вы лишь обслуживаете другие дисциплины. Вы выполняете заказ, который вам испускают физики, химики, инженеры, и т.п.

    Львиная доля математических теорий сегодня нашли свое применение при построении моделей реального мира. Вы думаете это случайно? Вы думаете математики блуждают в дебрях собственного воображения решают задачи, которые существовали лишь в их головах, и каким–то чудесным образом оказывается, что это нужно представителям других точных наук? Нет, милейший, вы (математики) изготавливаете инструменты. И здесь действует вполне себе земное правило продавец–покупатель. Если инструментом не удобно пользоваться, то о нем потихоньку забывают (как и об авторе, который самоотверженно пытается его развивать, все больше и больше приближается к полному одиночеству).

    Вы же не будете утверждать, что не существовало математических теорий, запылившихся на полке? (Пусть временно.) Вы что хотите сказать, что не было выдумано больше никаких констант, которые оказались никому не интересны? Не смешите меня. Я сейчас сам выдумаю пару штук. :–)

    Итак, дорогой мой оппонент, автор топового сообщения спросил нас про число е. С чего это он вдруг заинтересовался именно им? А почему не моим числом зю? Которое тоже иррационально и трансцендентно? Потому, что о нем знают миллиарды людей! Неужели вы серьезно полагаете, что такую популярность оно бы приобрело, не имей математические теории, в которых оно фигурирует, такого широкого практического применения во всех областях человеческой деятельности, какие они имеют сейчас?

    А почему все эти математические теории нашли такое широкое применение на практике? Потому что они позволяют достаточно точно описывать наш с вами реальный мир. (Иначе кто бы ими пользовался.)

    *****

    В свете всего вышесказанного я утверждаю, что человеческий ум может придумать кучу теорий, опирающихся на самую разнообразную аксиоматику и даже логику. Но широкое применением получат лишь те, от которых есть практическая польза. И если весь мир пользуется числом е, равным 2.7[год рождения Л.Н.Толстого два раза], то значит оно отражает одно из его свойств. (Равно как и определение предела.) А значит, утверждать, что значение числа е, равно как и определение предела, лишь плод фантазии, напрочь оторванной от реальности и не зависят от неё, тоже нельзя.

    ******

    Не исключено, что даже в нашей вселенной в масштабах намного превышающих земные, евклидова геометрия будет лишь частным случаем, дающим достаточную точность только для малых расстояний (как законы Ньютона, которыми можно пользоваться лишь для досветовых скоростей). А если геометрия будет не совсем евклидовой, то и число пи может оказаться не константой, а функцией, например. А там смотришь и е пошатнется. Даже не надо убегать в другие вселенные, достаточно будет расширить границы изучения нашей. :–)

  65. Re001:

    Чтож, все пункты, где вы железно и топорны неправы, вы красиво оставили без комментария. Ок. Сразу видна «научность» вашего спора.

    1.
    Я допускаю существование существования миров с любой физикой, ибо физика отвечает за процессы миры. Математика с миром не связана, поэтому фраза «мир с другой математикой» некорректна. Ибо математика — это инструмент. Есть обьект «мир», есть инструмент для его моделирования «математика». Инструмент не принадлежит обьекту. Инструмент для применения на любых объектах.

    >> Вы уверены, что невозможно придумать непротиворечивую математическую теорию, в которой бы е имело бы другое значение?
    Вот тут, я боюсь, у вас банальные проблемы с терминологией. Вопрос терминологии — что такое математическая теория.
    Если вы говорите, про расширение математики с её текущими аксиомами и формализмом, то очень легко доказать невозможность этого. Если вы говорите, про «взять, стереть определение математики, придумать что–то другое, и назвать это математикой», то запросто — вы можете назвать словом математика вашу компьютерную мышь. Только теряется смысл этой дискуссии, ибо невозможно её продолжать, если мы пользуемся разными языками и вы сами придумываете смыслы слов.

    2.
    Вы опять про популярность. Лол. Ок.

    Ну а там опять целый абзац, про выполнение заказа. Еще раз:
    Кому выполнял заказ Кардано, когда он придумал комплексные числа, и написал потом, что они непригодны к употреблению?
    Ответьте на этот вопрос, я тогда продолжу комментирование этой части. А то я вам уже явно и чуть ли не формально в прошлом комменте показал ошибку, но вы её просто проигнорировали и решили зайти за тот же вопрос с другой стороны «А вдруг» 🙂

    *******
    Хотя вот это прокомментирую. Уж больно смешно:

    >> И если весь мир пользуется числом е, равным 2.7[год рождения Л.Н.Толстого два раза], то значит оно отражает одно из его свойств.
    И если весь вы пользуетесь числом 2, для описания количства ваших рук, то значит число 2 отражает ожно из свойств вашего тела.
    Бред же 🙂 Причем феерический. Число 2 можно использовать для подсчёта ваших рук, а не число 2 — это отражение количества рук вашего тела.
    Причем вообще хорошая аналогия. Смотрите — инструмент «арифметика» используется на обьекте «существо» для моделлирования количества рук. А вы пытаетесь определить арифметику через обьект. Как буд–то у паука число 2 будет равно 8 🙂

    *****************

    Первая часть последнего абзаца — правильная. А вот потом ложный вывод «А если геометрия будет не совсем евклидовой, то и число пи может оказаться не константой, а функцией, например«. Для описания процессов в неевклидовой геометрии, которая будет использоватся в физике тех масштабов, вохомжно потребуются хитроопределённые функции Пи–Эпсилон–зю, которые зависят от какого–нибудь параметра и в простеёшём случае евклидовой геометрии выражаются в число пи. Но само число пи, останется числом пи 🙂 По определениею его 🙂
    И так же с числом е. Они, как определения, не могут измениться. Их уже определили. МОгут использовать новые константы для определения новых процессов. Изменится физика, а не математика. Математика — инструмент.

  66. ElNorma:

    Вы очень много «времени» тратите на выпады в адрес личности оппонента. Тот пункт, где вы не заметили у меня кавычки и сделали выводи, что я сам себе противоречу, я просто проигнорировал, ибо это разговор вида «сам дурак», а посему мне не интересен. :–)

    Теперь по делу. Вы соглашаетесь сравнивать математику с инструментом и делаете катастрофически неверное заявление о независимости инструмента от объекта, к которому он применим. Если у меня в руках крестообразная отвертка, то её форма — не что иное, как отражение свойств винтиков, которые я собираюсь крутить. Инструмент очень даже зависит от свойств объекта, к которому применим и потому косвенно характеризует его.

    Теперь о том, что такое математика:
    Математика наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Видали, какое определение? В нем присутствует категория «действительный мир»! То есть его авторы не исключают возможности существования науки о количественных отношениях какого–нибудь НЕдействительного мира. Иначе бы не уточняли. А значит, я не один, кто считает, что математика косвенно отражает свойства нашего с вами мира, а не просто свойства разума ученых, которые её «придумывают». И следовательно характеризует его. (Уж не говоря о том, что устройство умов ученых тоже является продуктом нашего мира, и значит, придумываемое ими тоже косвенно характеризует его. Но это была бы очень косвенная характеристика, а математика к реальности куда ближе.)

    Вообще почитайте статью про математику на сайте //dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathe… Конечно, в вашем возрасте вы запросто назовете её авторов старперами, жертвами коммунистической идеологии и т.п., но все равно почитайте (там не много).
    Посчитайте сколько раз там фигурирует слово «запрос». :–)

    Теперь про число е, как определение, которое не могут измениться, ибо его уже определили.
    На основании чего его определили? В конечном итоге? Уж не на основании ли аксиоматического ряда? А откуда берутся аксиомы? Правильно: их «выдумывают». Но выдумать–то можно куда больше аксиом, чем те, которые фигурируют в математике сегодня. И вот именно аксиоматика и есть тот самый фундамент для любой науки. А на чем он стоит? Где вырыт котлован? Правильно: в земле, читай в нашем реальном мире. Попробуй повесить фундамент в воздухе, здание рухнет, разбившись о твердь реальности.

    Математика все время развивается, все время придумываются новые теории, придумываются новые аксиомы. И далеко не все получают широкое признание. Дальнейшее развитие получают только те инструменты, которыми удобно пользоваться. Которые эффективны при решении задач, связанных с реальным миром. Популярность, на которую вы упорно пытаетесь плевать, на самом деле очень серьезный критерий. Давайте я попробую на своем уже детском языке вам показать: вот есть какой–то агрегат, в котором присутствует 10000 винтиков с плоским шлицем. Вот 100 человек, которым нужно разобрать этот агрегат, и они сами будут покупать себе отвертки. Так вот, продавец ближайшего хозяйственного магазина совершенно точно сможет определить, какие были головки у винтиков разбираемого агрегата. :–)

    Число е, это, например, основание показательной функции, производная от которой равна ей же самой. Так вот все эти определения показательной функции, производной и т.п. не являются каким–то абсолютом, данным нам свыше. Математика могла быт и другой! В ней могли быть и другие методы, понятия, инструменты, аксиомы. И тот факт, что сегодня мы повсеместно пользуемся именно этими теориями, этими методами, этими определениями, выводами из них, говорит о том, что они являются удобными (эффективными) инструментами для описания нашего мира, и косвенно характеризуют его, как отвертка характеризует шлиц винта.

    А значит число е, наряду с понятиями умножения и сложения, понятиями функции, предела, производной, которыми мы все пользуемся, является косвенной характеристикой нашего мира.

    То есть вы можете со мной и не согласиться, но хотя бы поймите о чем я говорю. А то ваш пример про руки человека и лапы паука меня расстроил, вы тем самым показали, что не уловили моей логики. Я понимаю, что е принципиально отличается от гравитационной постоянной. Что е это свойство инструмента, а не свойство объекта. Но инструментов можно придумать целую кучу, а удобны будут из них далеко не все. И сортировка инструментов в порядке убывания удобства (которое можно оценить по критерию популярности) косвенно будет характеризовать и сам объект. Вроде простая мысль… :–)

  67. Niap:

    я думал там про чувака

  68. JjTim:

    во, спасибо за историю, так как у меня обычно полный диссонанс наступает, когда вроде простая штука все время разваливается в голове просто потому, что в ней нет аппарата, которым пользовались люди, чтобы прийти к этой штуке.

  69. JjTim:

    уж не знаю, насколько достоверная байка, но в соответствии с ней одно из первых наблюдений, которое к ней подтолкнуло, был жизненный цикл стаканов одной партии в столовой

  70. JjTim:

    >Формально, по определениям, в аддитивной группе действительных чисел есть одно действительно важное число — ноль. Оно играет понятную роль в операции сложения: x+0=0.

    А дальше читать надо или мне правильно мозг замкнуло?

  71. PeBam:

    Ну опечатка, епт. Давайте меня расстреляем.

  72. EgGrey:

    про e не мультик, про e картинка — это такое число, площадь гиперболы 1/x от единицы до которого равна единице:

    image

    Поэтому, кстати, натуральный логарифм (который, собственно, и представляет собой площадь гиперболы 1/x от единицы до того числа, нат.логарифм которого берется) еще Эйлер называл гиперболическим.

  73. Re001:

    >> сделали выводи, что я сам себе противоречу
    Опять подмена тезиса оппонента. Вы продолжаете превращать дискуссию в спор, используя демагогические приёмы. Если так продолжится, то интерес пропадёт у меня. Ибо научность диалога пропадает.
    Я нигде не говорил что вы сами себе противоречите.
    У вас был тезис. Я же доказал тезис, ему противоречащий. Эрго ваш тезис — опровергнут.
    Причем здесь ковычки и ваша «потеря интереса» и привод неправильных аналогий? Я не говорю что вы дурак. Я говорю что ваш тезис не прав и не просто говорю и обзываю, а привожу доказательства.
    Я просто поверил, что вы хотели вести научную беседу. Но судя по очередной попытке подменить мои слова — зря.

    Очень рад, что вы используете в качестве примера инструмента — отвёртку. Только уж больно топорно. отвёртку и всё. Математика — отвёртка со сменными головками. Сменные головки — это что–то на уровне прикладной математики/физики.
    Поменяется болтик — поменяется физика. Математика останется. Это же инструмент.

    2.Ну что же вы взяли кусочек определения и пытаетесь им что–то сказать 🙂 Прочитайте статью от и до и попытайтесь понять. Математика в этой статье дана, как смесь прикладной и чистой.
    Плюс описаны основные силы для её развития. Естественно и очевидно, что прикладная математика часто являлась движимой силой развития математики. Но это не значит, что она создавала математику под свою нужду. Она просто усовершенствовала инструмент, но никак не привязывала инструмент к себе 🙂

    Заодно, советую вам прочитать определение филосовское, потому что мы с вами говорим сейчас про математику, как про науку. Ну а про метанауку лучше читать в филосовском словаре:
    //dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathe…

    Мне надоело отвечать человеку, с которым как–то бес толку общаться. Вопрос про то, кому Кардано выполнял заказ про комплексные числа так и повис в воздухе. То, что я явно показал, что вы не правы, повисло в воздухе, вы уже два раза подменили мои слова… Я не вижу смысла тратить мне время и опять обсуждать каждый ваш новый подход, после чего вы проигнорируете мой ответ и продолжите писать, как буд–то я ничего не писал.

    Да и вобщем–то своим последним абзацем вы все равно привели к результату:
    Я же не говорю, что математикой, будет удобно пользоваться в другом мире. Удобство тут не при чем. Возможно в физике другого мира вообще будет очень сложно найти применение нашему инструменту, с названием математика. Но инструмент останется инструментом. И число е, слово богу вы согласились — свойство инструмента.
    Даже если число е некуда применить в том, другом мире — оно останется тем же самым 2.71828…

  74. Ki3:

    т.е. ахиллес преследуя черепаху не мог через е перепрыгнуть?

  75. PeBam:

    Начало разговора в виде «Если мы придумаем с тобой математику, в которой…» — отличный рецепт для срача.

  76. ElNorma:

    И да вы правы, я игнорирую ваши, не имеющие к основной теме нашего спора выпады.

    В случае с «высосанностью,» важно лишь то, что уровень популярности математических теорий коррелируется (со знаком «плюс») с их практической применимостью. Причем не важно, как они (теории) создавались: автор сразу понимал всю практическую их ценность, или для него это было не больше чем игра ума. Важен результат. И говоря, что высосанные из пальца теории не находят популярности, я имел ввиду не способ их получения, а качество. То есть теория может со временем и перестать быть высосанной. :–) Возможно выбранная аллегория сбила вас с толку. :–) Простите. Давайте заменим высосанность на «отсутствие практического применения». Это — моя ошибка.

    То же самое и с заказом. Не нужно понимать мои слова так уж по–детски. Если кто–то что–то сделал, исходя из желания поиграть умом, это вовсе не означает, что не существует такого понятия, как запрос к математике в целом. И в масштабах науки, а не на уровне отдельных её атомов, она (математика, даже самая чистая) именно выполняет заказ. Это как с молекулами газа, в открытом сосуде: какие–то летят во внутрь, какие–то наружу, но в целом газ стремится сосуд покинуть, и занять все доступное ему пространство. И опровергать эту тезу, на основании истории перемещений одной единственной молекулы (или даже десятка) не корректно. Ундерстандабле?

    Ну а теперь главное:

    Даже если число е некуда применить в том, другом мире — оно останется тем же самым 2.71828…

    Ура, ура, ура!

    То есть вы согласились с тем, что наука о количественных соотношениях возможна, как в виде, которому нет применения в каком–то из миров, так и в виде, в котором — есть.

    А значит тот факт, что из всех возможных вариантов математики, популярность приобрела именно та, в которой есть именно такие понятия пределов, рядов, из которых неизбежно вытекают именно такие значения чисел e и π, косвенно характеризует наш с вами мир, и являются отражением именно его свойств.

    (О том, что у e и π есть геометрическая трактовка, и их можно измерять, грубо говоря, линейкой, мы даже и говорить не будем. Хотя это означает, что они, теперь уже прямо характеризуют свойства нашего пространства. Просто мы иначе уползем в сторону. А я этого не хочу. )

    Вот именно по–этому я и сказал вам, что вашe фразу:
    Определение предела, тоже не зависит от свойств мира.
    можно читать, как
    одно из свойств мира не зависит от свойств мира.

    Вы попросили подробней, пожалуйста: определений предела, равно как и аксиом математики можно придумать сколько угодно много. Но вот популярными окажутся только те, которые будет «куда применить», то есть они будут эффективны при решении практических задач.

    И если вы говорите о том определении предела, которым пользуется по всей Земле, то по факту своей популярности он является отражением нашей с вами реальности.

    Вот собственно об этом разговор и шел.

  77. 7ev:

    Ещё число «е» (точнее, натуральный логарифм) таинственным образом связано с простыми числами. А именно, распределение простых чисел ?(x) — количество простых чисел, не превосходящих x, — очень хорошо описывается формулой:

    размер 220x86, 1.70 kb

  78. Reev:

    пролистал тут случайно.

    Если прямо отвечать на вопрос В ЧЁМ СМЫСЛ И ТАЙНА числа е (кроме его прямого определения)

    Так смысл его в том, что удобнее через это число считать в физике всякие зависимости, сложные многоэтажные формулы преобразовывать и т.п.
    тупо просто удобнее.

    Еще наши деды, когда получали техническое образование, практически ВСЕ известные нам формулы знали приведёнными к десятичному логарифму.

    но потом люди помучались, и пересчитали всё к е. Стало удобнее, так и оставили.

  79. PeBam:

    кроме его прямого определения

    А под «прямым определением» ты что понимаешь?

  80. Yeen:

    это от недостатка общения

  81. Nasim:

    я — обычный человек, но я не люблю майонез, как и прочие любые кетчупы etc. 🙂

  82. PeBam:

    Значит ты — необычный человек!

  83. Reev:

    на этот вопрос выше уже ответили исчерпывающе + википедия в помощь

  84. PeBam:

    Чем писать двадцать букв и отсылаться к википедии, не проще было бы в двух словах сформулировать какое конкретно определение числа е на ваш взгляд является «прямым»?

  85. Tflaev:

    а, собственно, почему так получилась? Почему получилось, что формулы через e так часто проще считать?

  86. Reev:

    Самое наиболее прямое определение числа е

    число е

    в матане это называется «замечательный предел» (не помню какой по счету)

  87. Reev:

    Сверху опять же уже ответили на этот вопрос исчерпывающе. Повторю: потому что дифференциирование функции ех дает ех, а в расчётах это невероятно удобно.
    только прошу, не спрашивай что такое дифференциирование и почему это так важно, что все базовые формулы по всему миру приводятся под число е, лишь бы дифференциировать было просто 🙂

  88. HcZen:

    один из замечательных.

  89. Tflaev:

    что такое дифференцирование я знаю. Я правильно понимаю, что формулы просто выражают через e (находят равную функцию) и потом дифференцируют и интегрируют.

  90. PeBam:

    Только это по сути два различных определения.

  91. Re001:

    Можно доказать что иррациональное значение вышеописанного предела равно сумме вышеописанного ряда и так же равно *вставить любое другое выражение/определение числа е*, обозначим это значение, которуму они все равны как «e».

  92. Re001:

    *обозначим это значение, которому они все равны, как «e».

  93. PeBam:

    Да, но речь–то о «наиболее прямом» определении числа е. Оно, по определению, одно такое, из которого все остальное должно выводиться некоторым образом.

  94. YbXXX:

    Пи это функция, конечно же. Просто у нас нет средств регистрировать другие её состояния.

  95. Re001:

    «Оно, по определению, одно такое»
    Не знаю. Меня на матане учили, что пофиг. Если есть эквивалентные определения, и можно доказать их эквивалентность, то абсолютно пофиг какое использовать, а какое использовать как синоним. Никаких «наиболее прямых» определений не было.

  96. YbXXX:

    Вот и пошли холивары. Прям протестанты против гугенотов…

    А вам никогда не приходило в голову, почему в реальном мире не существует целочисленных вещей? Почему значения ни «Пи» ни «е» нельзя записать математикой, из которой вы её получили?

    Почему не существует «1» лимон?

    Не потому ли что «дискретная» математика с цифрами и числами это всего лишь шизофреническая описательная модель информации, поступающей из весьма небольшого количества периферийных устройств в головы весьма небольшого социума? Модель, помноженная на невероятное желание описаний statefull систем, которых в реальном мире не существует?

    Да, это удобный способ познания окружающего мира, попилить на доступные атомарные кирпичи, а дальше индуктить, рекурсить и интегрировать до невменяемости, но это всего лишь способ познания, а мир — всякий раз доказывает что он:
    1. stateless
    2. functional
    3. Неатомарен и нифига не квантуется ни по пространству ни по времени.

    и тут возникает некоторый диссонанс между наблюдаемой функциональной механикой и мат.моделью.

  97. LoDr:

    El pueblo unido jam?s ser? vencido!

  98. YbXXX:

    Partido o la muerte, невопрос. Я просто пытался объяснить почему объяснить человеку без первого курса МатАна смысл числа Е не возможно.

  99. PeBam:

    Никаких «наиболее прямых» определений не было.

    Ну этот термин не я ввел, я лишь предложил пофлудить на эту тему, ибо об этом как бы пост, и замести термин под ковер, а потом отправить всех в Википедию и декларировать что все просто — это значит не понять суть вопроса.

    Если есть эквивалентные определения, и можно доказать их эквивалентность, то абсолютно пофиг какое использовать

    Более того, если у тебя фиксирована формальная система (например, «действительный анализ, определенный через Зермело–Франкеля»), то из любого верного утверждения чисто логически следует любое другое верное. Т.е. логическое выражение A=>Б верно для любых верных А и Б.
    Но это довольно бестолковый взгляд на суть вещей, ибо фраза «раз земля вертится, то 2+2=4», хоть и логически верна в нашем конкретном мире, но бессмысленна, как только ты попытаешься абстрагироваться.

    Точно так же, ты можешь привести доказательство как из определения e через сумму 1/n! вытекает определение e как «основание степенной функции, идемпотентное относительно производной». Или возьми еще более мудреную формулировку про «наиболее оптимальное основание позиционной системы счисления» из моего длинного комментария выше и попробуй там показать идентичность. Заметь что такие доказательства будет довольно косвенными и по сути не будет выражать интуитивную идею что из первого определения «следует» второе. Вполне возможно что самый простой способ доказать эту эквивалентность — привести оба определения к «замечательному пределу» или еще к какому–то «естественному» определению, из которого вещи вытекают более упорядоченным образом. Вот оно было бы «наиболее прямым» определением.

    Еще, суть вопроса про «наиболее прямое» определение упирается в попытку абстрагироваться от действительных чисел и спросить — а что же является основным «уникальным» свойством е? Если мы возьмем другой корпус (p–aдики какие–нибудь или что–нибудь еще), что в нем будет играть роль «замечательного предела»? А что будет играть роль «основания натурального логарифма»? А обязательно ли, чтобы эти два объекта были одинаковыми? Если да, то почему? Если нет, то почему они одинаковы в действительных числах? Итд.

  100. RuAn:

    дружище, твое объяснение сути e сделало мой сегодняшний день прожитым не зря! Спасибо тебе!

  101. PeBam:

    Мне кажется, что невозможно объяснить что объяснить невозможно.
    Объяснить?

  102. Reev:

    микроскопическая подмена понятий
    прямое определение и «наиболее прямое определение»
    Про наиболее прямое определение я не заикался, ибо после двух лет матана не возьмусь дать таковое для числа е.

    А доебат… оспорить максимальную прямость определения можно чего угодно, ибо легко от «определения» до «значения» уйти в вопросы философии: для одних людей трава это то, что на лужайке растёт, а для других это непременно курят, а на лужайке растёт Chenopodium album и др.

    Возвращаясь к первому пункту: прямое определение числа е. Я так до сих пор и не увидел докозательств того, что замечательный предел нельзя считать определением числа е

  103. PeBam:

    замечательный предел нельзя считать определением числа

    Можно считать. Но почему надо называть его «прямым определением» (т.е. чем это определение «прямее» других) мне не понятно.

    Что угодно можно считать определением числа е и это меня лично смущает. Как с массой в соседнем посте. Для одних масса = гравитация. Для других = инерция. Вроде как совпадает. Но почему — не ясно.

  104. Reev:

    Вроде как совпадает. Но почему — не ясно.
    Я много интересовался наукой в институте (и до сих пор интересуюсь), общался с разными людьми…
    В так называемых точных и экономических науках обычно считается, что совпадает — и отлично!!! значит будет работать!!!

    И львиная доля научной базы теоретической гидродинамики, электродинамики, тепломассопереноса, теории химической связи и многих других наук строится чуть ли не базово (хоть открыто об этом умалчивается) как раз на том, что какие–то совершенно несовместимые вещи как бы равны, а почему — черт его знает.

    Компьютеры, сотовые телефоны, спутники с глонассом/жэпээсом — всё это существует только потому, что люди не углубляясь в вопросы «почему» смело приравнивали и получали результат.

    Повторюсь, что этот вопрос (как можно принять неочевидное, но работающее…) я бы скорее оставил для философов. Математика это вообще ни разу не точная наука на самом деле.
    Взять вот, например, преобразование Эйлера (дай мне сила джедая памяти не перепутать, не хочу лазить по википедиям): когда мы функцию интегрируем от минус бесконечности до плюс бесконечности… КАК можно за конечный результат брать что–то от минус бесконечности до плюс бесконечности??? где корни этой бесконечности, как её потрогать?? а при этом все человеческие знания о кристаллической решетке и многих других вещах именно на подобных преобразованиях и косвенных, дважды–трижды косвенных данных строятся.

  105. PeBam:

    Ну здесь ты меня не понял.
    Возьмем к примеру число пи. Оно тоже присутствует дофига где, но везде где оно присутствует, его наличие объясняется тем или иным циклично–круговым явлением. Поэтому с числом пи «понятно» почему оно и в преобразовании Фурье, и в площади круга, и даже в формуле Эйлера.

    А вот с числом Е мне лично нифига не понятно.

    люди не углубляясь в вопросы «почему» смело приравнивали и получали результат

    Да ну чушь. Все как раз наоборот.

  106. OdOld:

    Ну число е как таковое, по крайней мере для меня, не проявляется. Есть функция ехр(х), которая появляется в решениях уравнений — и при ближайшем рассмотрении включает в себя какую–то константу. Константа оказывается равной какому–то пределу (и наверное это достаточно легко доказывается), но число е в чистом виде я не видел очень давно. А функция — постоянно

  107. PeBam:

    Но почему–то в действительном анализе поголовно используется экспонента именно с основанием е, а не с основанием 2 или 10, например. Поэтому число e проявляется для тебя хотя бы как основание экспоненциальной функции. Почему именно lim (1+1/n)^n должно быть самым удобным основанием?

  108. OdOld:

    ну сказали же, потому что exp(x)’=exp(x)

  109. PeBam:

    Вопрос: Почему именно lim (1+1/n)^n должно быть самым удобным основанием?

    Ответ: ну сказали же, потому что exp(x)’=exp(x)

    Видишь дырку в рассуждении?

  110. Re001:

    lim (1+1/n)^n — удобное основание для степенной функции, потому что ( (lim (1+1/n)^n)x)’= (lim (1+1/n)^n)x
    🙂

  111. OdOld:

    Не вижу, ибо уже сказал :
    . Есть функция ехр(х), которая появляется в решениях уравнений — и при ближайшем рассмотрении включает в себя какую–то константу. Константа оказывается равной какому–то пределу

  112. PeBam:

    В любом поле, или это только для действительных чисел выполняется?

  113. OdOld:

    ну судя по тому, как работают комплексные экспоненты — и для мнимых/комплексных х тоже.

  114. PeBam:

    Во–первых, если ты мне покажешь как из exp(x)’ = exp(x), прямыми логическими выкладками вытекает тот факт, что e должна обязательно быть равна этому пределу (причем чтобы эти выкладки можно было бы обобщить на другие поля или линейные операторы помимо диференцирования), я буду тебе очень благодарен.

    Во–вторых, если ты покажешь мне как связаны свойства exp относительно диференцирования и тот факт, что через нее выражается гауссово распределение, экспоненциальное распределение, формула Стирлинга и куча других комбинаторных результатов, я буду тебе дважды благодарен. На данный момент я вижу что во все эти места «при ближайшем рассмотрении включают в себя какую–то константу» которая магическим образом оказывается везде одной и той же.

  115. OdOld:

    Не сочтите за грубость, но вы мат.анализ изучали? Без этого будет сложно. Я как дойду до своей свалки книг, вам найду вывод. Если не изучали… Ну тогда вы пытаетесь нахвататься кусков, которые у вас все равно не увяжутся. Систематическое образование рулит…

    А простейший вывод экспоненциального распределения.. Ну возьмите учебик Сивухина, 2 том (в сети есть) и прочитайте 77 параграф. Там распределение Больцмана выводится совсем на пальцах, без статсумм и прочей мудотени.

  116. PeBam:

    Если вы не способны воспроизвести хотя бы приблизительно и на пальцах суть данного вывода, и вынуждены обращаться к учебникам и отсылать спрашивающего в сад, значит вы, как и я, не понимаете прямой связи между синтаксисом выражением вида lim (1+1/n)^n и различными применениями этого выражения. Не стоит прикрывать это непонимание «систематическим образованием».

    Давайте возьмем некоторое число x, которое выражается вот такой вот бесконечной суммой:
    х = 4sum ((–1)^k/(2k+1))

    Теперь вдруг оказывается что это число используется в каждой второй формуле, начиная от площадей фигур кончая выражением частот. Возникает естественный вопрос — почему это число и почему такая сумма? Несомненно, кто–то где–то сумел хитровычурным способом показать, как вот такая сумма участвует в подсчете площади, а еще кто–то возможно показал что эта сумма полезна для вычисления частотного разложения. Наше «систематическое образование» позволяет верить в то, что это было проделано, остается лишь заткнуться и сидеть, повторяя что «да, вот такое магическое число есть, и суть его описывается вот такой вот бесконечной суммой, если что я вам учебник покажу, и более нет ничего здесь интересного».

    А можно пойти и увидеть, что число всего навсего является отношением длины окружности к диаметру, и моментально разложение в бесконечный ряд становится вторичным ненужным фактом, который можно будет на пальцах выводить исходя из первичного опреления, без нужды лазить в учебники.

    Я вот уверен что для числа е «замечательный предел» точно так же является лишь вторичным проявлением его сути, как, вполне возможно, и его роль в экспоненциальной функции.

  117. PeBam:

    (более того, если уж искать «первичное» выражение для е, то сумма с факториалами намного более актуальна, ибо по ней как раз сразу видно свойство производной а так же ощущается отношение числа е к комбинаторике).

  118. OdOld:

    Вы, батенька, философ — и вам пора о смысле жизни задуматься.
    Я дал вам достаточно простые определения, что такое е — точнее функции «экспонента» — через решение уравнения у’=у. По–моему такое определение вполне естественно.
    Теперь вы пытаетесь привязать к этому какие–то суммы и пределы. Вы, не я. Совершенно прекрасно, если вы сможете это сделать — для меня вполне достаточно, чтобы были способы вычисления этой функции (которые элементарно получаются из степенных рядов и свойств производной) — откуда следует то самое ехп(1)=1+1/1!+1/2!…
    Вы хотите более другого? сколько угодно. С моей точки зрения — слабоосмысленно.

  119. GeIn:

    да. Это называется разложить функцию в ряд. Так в большинстве случаев реализованы основные математические функции в языках программирования например.
    Ряд Тейлора, Ряд Фурье — ссылки, если стало интересно.

  120. GeIn:

    а вот дифференцировать и интегрировать после этого не надо. Разложение в ряды создано для упрощения вычисления значения.

  121. Reev:

    что–то мне подсказывает, что вы пытаетесь постичь некую высшую «суть» прикладного инструмента.

    Приведу аналогию из жизни. Бухгалтер считает на калькуляторе подбивая очередной квартал.
    Он думает о том, чтобы дебет с кредитом сошлись, чтобы не пропустить транзакцию какую.
    И он максимально не думает о сущности такого инструмента как калькулятор (число е). Раньше были арифмометры (десятичные логарифмы), счеты (двоичные логарифмы), но ведь с калькулятором–то удобнее! (не придирайся, что всё в базе 1с делается сейчас, хорошие бухи частенько пользуются добрым ламповым калькулятором для очень многих расчётов).

    Это я и пытаюсь донести, что высшего сакрального смысла числа е нет. Математическая абстракция, которая максимально ничего не значит. Я вот еще мнимой единицы не понимаю. И в неэвклидовом пространстве не ориентируюсь. И еще много чего.

    Сейчас вот вдруг ни с того ни с сего вспомнили про эту абстракцию и быстренько сообразили, что удобно это использовать как инструмент, многоэтажные вычисления в некоторых местах становятся малоэтажными (–: а это означает, что у Планка Нашего Времени (если таковой существует…) будет меньше шансов ошибиться в расчётах при доказательствах жене, что одинарный стеклопакет эффективнее двойного.

  122. Reev:

    на правах оффтопика с чем могу согласиться, так это то, что современная научная парадигма во всём своём многообразии уточнений и дополнений частенько уводит пациент от искомой изучаемой им вещи.

    Когда я в школе учился, я наглядно представлял себе газ в виде шариков, которые так весело по броуновски сталкиваются и отскакивают друг от друга, эдакая дискотека.
    А после 11 различных фидов физхимии и 4–х различных курсов квантовой механики и 3–х курсов теорфиза я реально перестал представлять газ таковым. Для меня это динамическое статистическое пространство (и то, я сам могу придраться к каждому из трёх этих слов).

    Пойду ка поищу, что Фихтенгольц по ешки говорит…

  123. PeBam:

    и вам пора о смысле жизни задуматься.

    С этим как раз все просто.

    Я дал вам достаточно простые определения… По–моему такое определение вполне естественно.

    Oпределение пи через сумму ряда (–1)^k/(2k+1) тоже «вполне естественно», не правда ли?

    Совершенно прекрасно, если вы сможете это сделать — для меня вполне достаточно, чтобы были способы вычисления этой функции

    ОК, вас не интересует тема данного поста. К чему тогда разговор?

    А мне вот (как и автору поста, насколько я понял) интересно узнать, будет ли в любом поле минимум функции f(x) = x^x обладать столь же неожиданными свойствами, какими он обладает для действительных чисел? А будет ли он связан с изоморфизмами аддитивной и мультипликативной групп? Ведь почему–то для любого такого изоморфизма f выражение f(f'(x)/f(x)) является инвариантом, равным e. Является ли наличие такого инварианта вообще неким общим свойством пар изоморфных групп Лие?

  124. PeBam:

    высшего сакрального смысла числа е нет

    ОК. Для вас тоже, я так понимаю,
    пи = 4sum (–1)^k / (2k+1),
    фи = (1+sqrt(5))/2,
    и любые попытки придать данным константам более первичные интерпретации бессмысленны. Лишь бы формулы сходились.

    ОК. Тогда этот пост — не для вас.

  125. Reev:

    позволю сделать вам замечание: не стоит вешать на меня ярлыки, а тем более упорно пытаться уличить меня в словах, которые я не говорил (это я про пи, фи и «пост не для вас»… не для меня, так не отвечайте, а то технически выходит, что я вас «троллю»)

    вы сможете мне человеческим языком, без всяких математических нагромождений (как будто я юрист, например) объяснить что такое мнимая единица и где я могу её пощупать?

    И пока что я смотрю, что все данные этого топика (по крайней мере) сводятся к тому, что я прав. Что е это именно математическая абстракция, которую скучавшие математики придумали (вычислили, нашли) от нефиг делать и положили на полочку как «нечто замечательное, может быть через сколько–нибудь сот лет оно кому–то пригодится». Наступил 20–й век, пригодилось.

  126. PeBam:

    не стоит вешать на меня ярлыки

    Знаете, это по–моему какое–то ставшее в последнее время модным клише — обвинять (или делать замечание другим) в том, что «на них вешают ярлыки». Выглядит это почти всегда абсурдно, вот как здесь, например. Приходит человек в пост, говорит «по–моему высшего смысла е нет и искать его не нужно». Ему в ответ говорят «ну хорошо, значит вас не интересуют другие, более первичные объяснения числа е, о которых спросили в данном посте». А в ответ обиженно так: «НЕ ВЕШАЙТЕ НА МЕНЯ ЯРЛЫКИ И НЕ УЛИЧАЙТЕ МЕНЯ В СЛОВАХ». Но дурь же, разве нет?
    Позволю сделать вам встречное замечание — не используйте выражение «вешать ярлыки». Оно дебильное и не несет в себе никакого смысла.

    что такое мнимая единица и где я могу её пощупать?

    Нарисуйте перпендикулярные оси. Отложите по оси Х отрезок длиной в единицу. Этот отрезок будет «единица». По оси У отложите отрезок такой же длины. Он будет «мнимой единицей». Свойства у этого отрезка довольно простые (сложения работают как у векторов, умножения поворачивают и растягивают). Такое описание даст вам достаточно полное представление о том, что есть мнимая единица, в каких случаях ее имеет смысл применять, а в каких — нет.

    И пока что я смотрю, что все данные этого топика (по крайней мере) сводятся к тому, что я прав

    Тут все упирается в то, как пост читать. Если читать только ваши комментарии то это так. Если читать только мои — то нет.
    Нет, конечно можно работать с мнимой единиц

  127. Reev:

    Позволю сделать вам встречное замечание — не используйте выражение «вешать ярлыки». Оно дебильное и не несет в себе никакого смысла.
    Внимательно прочёл все свои сообщения за последние полгода и не увидел места, где бы я продекларировал «ВСЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ НИЧЕГО НЕ ЗНАЧАТ!!!»
    наверное написал в пьяном бреду и правительство предусмотрительно стёрло.
    я же не предъявляю Вам то, что попытку обожествить и снабдить высшим смыслом калькуляторы, счёты, лифты в домах и прочее — это мышление индуса средних веков.
    Если про нас лично говорить, то я вижу, что тут сталкиваются несколько разные мышления: математик и физик. На этом месте предлагаю мир–дружбу–жвачку, надеюсь мы как люди с высшим тех. образованием тут найдём точку соприкосновения (–;

    В учебниках про е Зорича, Ильина–Позняка и Фихтенгольца пишут, что этим символом Эйлер стал обозначать то, чему равен выше приведённый предел. Из просмотренных учебников нашёл:
    Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1, страница 90
    Некоторые свойства числа е которые мы установим в последствии, делают особенно выгодным выбор именно этого числа в качестве основания для системы логарифмов.

    из чего я и сделал тот вывод, который так яростно защищаю (который и высказал в начале этой ветки)

  128. PeBam:

    где бы я продекларировал ВСЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ НИЧЕГО НЕ ЗНАЧАТ!!!

    Чтобы не казаться голословным, позвольте указать на эту фразу: вы пытаетесь постичь некую высшую «суть» прикладного инструмента за которой последовала аргументация о том, что это бессмысленно.

    Т.к. по–моему любая математическая константа является таким же прикладным инструментом как и е, я воспринял данную фразу как не желание в принципе искать смысл любого такого «прикладного инструмента», лишь бы он работал. Другими словами да, для меня эта фраза означала «все математические константы, лишь прикладной инструмент, и искать их суть бессмысленно».

    Если это не так и ваше нежелание искать суть относится лишь к е, ОК, хотя я с этим не согласен.

    В остальном я не против мира–дружбы–жвачек и вообще не пытаюсь разводить войну. Я тут местный флудер, не обращайте внимания.

  129. Raenko:

    Добавлю, что были компьютеры, в которых у бита было три состояния. Остались те, в которых таких состояния два. Но самыми эффективными были бы те, у которых было бы «е» состояний. Только вот непонятно, как это организовать.

  130. Reev:

    …приятно, что в интернете можно поспорить (на 131 ответ!) на такие темы…

  131. ReXXX:

    бред. Нельзя отсюда _вычислить_ e. А это равенство лишь следствие из определения экспоненты для комплексного аргумента.

  132. LaMath:

    Когда–то я задавался вопросом, почему, например, сила гравитации обратно пропорциональна именно квадрату расстояния, а не скажем степени 2.004535? Потом понял.

Добавить комментарий