Приношу извинения за, вероятно, тупой вопрос.

Существует ли возможность нахождения в общем случае корней полинома произвольной степени n, если известно, что у него три ненулевых коэффициента (два старших и младший).

Даже точнее: xn + xn–1(b–1) + b = 0

GD Star Rating
loading...
Существует ли возможность нахождения в общем случае корней полинома произвольной степени n, , 9.0 out of 10 based on 1 rating

7 Responses to Существует ли возможность нахождения в общем случае корней полинома произвольной степени n,

  1. KsSu:

    Блин,

    xn + xn–1(b–1) + b = 0

  2. EnAva:

    Насколько я понял постановку задачи, вас интересует аналитическая формула аля Кардано для корней таких полиномов, выражающая его корни через радикалы и эти три коэффициента? Интуитивно могу сказать, что нет, поскольку, согласно Виету, произведение корней должно равняться b, а сумма всех произведений из n–1 корней соответственно (b–1), но не уверен. А возможность нахождения корней с любой точностью численным методом существует всегда.

    Попробуем что–то вроде…

    xn + xn–1(b –1) + b = 0
    xn + bxn–1 — xn–1 + b = 0
    xn + b(xn–1 + 1) — xn–1 = 0
    xn–1(x — 1) + b(xn–1 + 1) = 0

    Если xn–1 + 1 делится на (x — 1), то 1 будет корнем. Но она корнем не является. Других идей пока нет.

  3. KsSu:

    Насколько я понимаю, по Виету
    сумма всех корней 1–b,
    а произведение = b при четных n или –b при нечетных.

    Но это немного даёт 🙂

    Численно — понятно, тем более, что корень мне нужен только один и я знаю диапазон где он живёт.
    Но хотелось аналитическую формулу. Увы.

    Пока только от отчаяния привел к форме: yn + yn–1 + a = 0

    где y = x / (b–1); a = b / (b–1)n, но толку от этого немного.

  4. EnAva:

    Точно! С Виетом я немного промахнулся. Попробуем с другого бока и для уравнения 3–й степени..

    (x–t)(x–s)(x –q) = x3–x2(t+s+q)+x(ts+tq+sq)–tsq

    Получаем нелинейную систему с тремя неизвестными..
    t+s+q = 1–b
    ts+tq+sq=0 –tsq=b

    …которую решать непонятно как. Тоже не помогло.Хотя, как следствие…

    t+s+q = 1 + tsq

    что звучит красиво «сумма корней на единицу больше их произведения», но совершенно бесполезно. Думаю дальше.

  5. EnAva:

    Попробуем найти хоть какие нибудь t,q, и s, для которых их сумма на единицу меньше их произведения. Предположим, что все они одинаковые и равны t, тогда получаем

    3t=1+t3 или t<>3<>–3t+1=0

    Что это дало?

  6. EnAva:

    Ничего, кроме кубического уравнения, которое решать понятно как. Но что–то тут не так.

  7. KsSu:

    Всё, вопрос снят. Нужный параметр оказалось намного проще вычислять из иных данных, доступных в контексте задачи.

Добавить комментарий