Приношу извинения за, вероятно, тупой вопрос.
Существует ли возможность нахождения в общем случае корней полинома произвольной степени n, если известно, что у него три ненулевых коэффициента (два старших и младший).
Даже точнее: xn + xn–1(b–1) + b = 0
GD Star Rating
loading...
Существует ли возможность нахождения в общем случае корней полинома произвольной степени n, ,
loading...
Блин,
xn + xn–1(b–1) + b = 0
Насколько я понял постановку задачи, вас интересует аналитическая формула аля Кардано для корней таких полиномов, выражающая его корни через радикалы и эти три коэффициента? Интуитивно могу сказать, что нет, поскольку, согласно Виету, произведение корней должно равняться b, а сумма всех произведений из n1 корней соответственно (b1), но не уверен. А возможность нахождения корней с любой точностью численным методом существует всегда.
Попробуем чтото вроде
xn + xn1(b 1) + b = 0
xn + bxn1 xn1 + b = 0
xn + b(xn1 + 1) xn1 = 0
xn1(x 1) + b(xn1 + 1) = 0
Если xn1 + 1 делится на (x 1), то 1 будет корнем. Но она корнем не является. Других идей пока нет.
Насколько я понимаю, по Виету
сумма всех корней 1b,
а произведение = b при четных n или b при нечетных.
Но это немного даёт 🙂
Численно понятно, тем более, что корень мне нужен только один и я знаю диапазон где он живёт.
Но хотелось аналитическую формулу. Увы.
Пока только от отчаяния привел к форме: yn + yn1 + a = 0
где y = x / (b1); a = b / (b1)n, но толку от этого немного.
Точно! С Виетом я немного промахнулся. Попробуем с другого бока и для уравнения 3й степени..
(xt)(xs)(x q) = x3x2(t+s+q)+x(ts+tq+sq)tsq
Получаем нелинейную систему с тремя неизвестными..
t+s+q = 1b
ts+tq+sq=0 tsq=b
которую решать непонятно как. Тоже не помогло.Хотя, как следствие
t+s+q = 1 + tsq
что звучит красиво «сумма корней на единицу больше их произведения», но совершенно бесполезно. Думаю дальше.
Попробуем найти хоть какие нибудь t,q, и s, для которых их сумма на единицу меньше их произведения. Предположим, что все они одинаковые и равны t, тогда получаем
3t=1+t3 или t<>3<>3t+1=0
Что это дало?
Ничего, кроме кубического уравнения, которое решать понятно как. Но чтото тут не так.
Всё, вопрос снят. Нужный параметр оказалось намного проще вычислять из иных данных, доступных в контексте задачи.