Давайте поговорим о искривлённых потенциальных ямах, синусоидах и превращении их в функции Эйри.
GD Star Rating
loading...
loading...
Давайте поговорим о искривлённых потенциальных ямах, синусоидах и превращении их в функции Эйри.
похожие публикации
Как известно, нулевое состояние в одномерной плоской яме с конечными стенками представляет собой горб синусоиды. Этот горб сшивается с экспонентами под барьерами. Ну и славно.
Когда дно ямы искривлено, подбарьерные экспоненты сшиваются с функциями Эйри А вот и они, симпотяги!
Превращение синусоиды в композицию функций Эйри происходит буквально на наших глазах:
Превращение в силу известных причин плавное. Но хочется воскликнуть, как это возможно?
Оказывается, что на отрицательной полуоси функции Эйри — это синусоиды от забавной степени от z.
В аналитическом решении ямы с кривым дном в аргументе функций Эйри стоит k*(еЕ)^(1/3)*(z Energy/(eE)). При малых наклонах, то есть, при малых еЕ, аргумент становится большим отрицательным числом. А при таких аргументах обе функции Эйри очень похожи на синусоиды.
Внимание, вопросы!
1. Какая из функций Ai и Bi вносит главный вклад и как это понять (не решая каждый раз уравнение для сшивки на границе с экспонентами).
2. Нужно ли это? То есть, нельзя ли ограничиться одной из них, раз уж они так похожи, без опасности значительной ошибки?
Ну и немного из другого акта оперы, повторю свой вопрос с мат.блогы: какой аналог функций Эйри для функций Бесселя?
оставлю одномерную реплику:.
это нульмерная реплика!
Ну и славно. [x]
вопросы! Ответьте мне на вопросы!
Доктор, меня все игнорируют!
1. если на вид больше похоже на синус, то Ai, если на косинус Bi.
2. нет, не нужно. можно разок решить такую задачу и понять, что там будут функции Эйри, после чего никогда ими не пользоваться, а решать численно.
а вообще возможность выкинуть чтолибо зависит от задачи. если ты решаешь Шредингера и у тебя выходит линейная комбинация функций, то выкинув одну из функций ты нарушаешь сшивку. если тебе наплевать, например, на производную, и ты хочешь просто нарисовать картинку, то почему бы не выкинуть. хотя я бы не стала ничего выкидывать до того, как напишу решение и оценю каждое из слагаемых.
каким методом ты решал задачу с треугольным дном? у ямы конечной глубины с треугольным непрерывный спектр. то, что ты получил, это уровень, вероятность обнаружить частицу на котором максимальна. но это я так, на всякий случай уточняю, чтобы зашедшим в пост не показалось, будто в такой системе спектр будет дискретным. потому что с точки зрения устоявшийся терминологии всё верно, это основное состояние.
хотя похоже что я вру. внешнее поле сделает спектр неприрывным, а в такой системе может быть и дискретный. надо подумать.
аналитическое решение может понадобиться чтобы развивать сложную статистическую теорию, учитывающую туннелирование и, может быть, какието транспортнорекомбинационные процессы. Чтобы спектр посчитать можно и численно, конечно.
Спектр будет дискретный, барьеры же плоские и движение соответственно финитное. Ты путаешь с инфинитным движением, разве нет?
А решать задачу с треугольным дном можно в лоб. Даже если барьеры треугольные, то решение — всё равно Эйри. Даже ничего преобразовывать не надо, лишь переменную обезразмерить.
должен быть дискретным, я погорячилась.
ну если комуто охота возиться, так тот пусть и думает о том, как ему удобнее волновую функцию записать. я бы всё равно не стала заморачиваться на виде волновой функции. есть потенциал, есть уравнение Шредингера и его решения, есть теория, которая через всё это выражает нужные нам вещи. мне хватит численного решения, чтобы воспользоваться этой теорией. далее, говоря о переносе, скорее всего речь всё же заходит о внешнем поле и в аналитике спектр будет непрерывным, придётся интегрировать по энергии, никакого красивого выражение не получишь. потенциал именно в таком виде, как у тебя нарисовано, не существует в реальных структурах, ну может только для диэлектриков. ты представляешь, как выглядит квантовая яма в реальном полупроводнике. нужно согласование пуассона и шредингера и дно у ямы выйдет совсем не треугольное. или яма входит в глубоко в область пространственного заряда, но я не могу представит такую ситуацию без внешнего поля.
дада, ошиблась. нужно внешнее поле для непрерывного спектра. я просто насчиталась задач с внешнем полем, что уже ум за разум. но и в этом случае, решая задачу численно, ты бы получил дискретные уровни, т. к. нужен ящик. по крайней мере так, как решаю я, я получаю именно уровни с максимально вероятной энергией.
Как известно, нулевое состояние в одномерной плоской яме с конечными стенками представляет собой горб синусоиды.
ткните носом, пожалуйста, где про это почитать.
да вроде в Ландавшице в третьем томе есть. Так проще самому решить, пятиминутное же дело.
вы правы, вектор перпендикулярен и здесь видна лишь проекция моей ономерной реплики. 🙂
при таких размерах я бы тоже стал расчитывать на дискретность спектра состояний
нене, суть не в этом. если при таких размерах, но во внешнем электрическом поле, то спектр будет непрерывный.
хм, давайте рассмотрим мой лапоть:
Структура: MeOxQDsOxMe.
Поле: внешнее (ток пропустил)
Мерил: падение напряжения на контакте
Увидел (если не померещилось): лёгкое отрицательное дифф. сопртивление
Вывод (если не ошибаюсь): тунельный эффект, как доказательство дискретности спектра состояний
Картинка:
почему туннелирование должно доказывать дискретность?
кликабле

что за книга?
Пихтин А. Н., оптическая и квантовая электроника.
книга изумительная, но смотри, что он пишет:
Если внести z под корень, то видно, что размерность не уходит. А чтобы уходила, нужно брать кубический корень. Или опечатка, или ошибка.
ты на самом деле права, а я кругом виноват и молю о прощении. Спектр получится квазиинфинитный с резонансными пиками около некоторых частично локализованных состояний. Но вот Пихтин, к сожалению, ясности в определение положения резонанса не внёс. Он рассмотрел только случай малого поля, внеся поправки в яму с бесконечной стенкой по теории возмущения. Этот случай не соответствует большинству практических случаев, когда искривление по порядку величины равно энергии основного состояния.
Я пока придумал только одно соображение: занулить волновую функцию на границе треугольного барьера, где электрон переходит в классически доступную область. Не знаю, насколько оно разумно?
как это «внести z под корень»? Слагаемое? Под корень?
там z умножается на корень.
z размерная координата или обезразмеренная? если размерная, то очевидно чтото не то, в первой скобке складываются с разными размерностями величины. Скорее поверю в то, что это опечатка, особенно с учётом того, как, как издательство подвело с этой книгой. Да и вряд ли Александр Николаевич сам решал для книжки эту задачу, скорее всего он её откудато списал.
размерная. И там складывается всё нормально, если считать что во втором слагаемом в знаменателе напряжение стоит.
Я решал и у меня получился кубический корень, но хотелось свериться, а тут такое.
да ладно? даже с плоским барьером, без внешнего поля? я начинаю путаться в этих ямах(
не, нельзя занулять. в классической области будет же не ноль, а волна де Бройля. Можно попробовать сшить с квазиклассической волновой функцией. Не знаю, имеет ли смысл делать это и приведёт ли к чемулибо.
Когда численно решают самосогласован Пуассона и Шредингера, обычно рассматривают большую область. Ясно, что во всей этой области решать Шредингера смысла не имеет, т. к. вдали от КЯ прекрасно работает классика. Выделяют ящик, внутри которого решается Шредингер, а вне ящика концентрация носителей заряда ищется как обычно, с помощью распределения ФермиДирака. Чтобы сшить классическую область с квантовой ямой, нужно подобрать ящик таким образом, чтобы на границах ящика или в некоторой области внутри него концентрация, рассчитанная для двумерного газа, совпадала с классикой, как будто бы решается только Пуассон. Сейчас поищу картинки попробую, чтобы както пояснить.
короче, ты всё правильно говоришь, тут слишком долго объяснять)
У меня задача выделить локализованные состояния в яме как на том отрывке книги Пихтина, что ты приводила. И для нахождения спектра нужно одно ещё гранусловие. Вообще оно берётся, если рассмотреть область вне барьера вплоть до границы кристалла — но это, очевидно, можно заменить на другое какоето условие, более разумное и локальное. Вот я и беру точку, где функция выходит изпод барьера. Занулить, конечно, не очень хорошо, но первое, что приходит в голову.
короче, принцип примерно такой. Сначала мы решаем только Пуассона:
дальше вблизи ямы мы выделяем ящик и решаем в нём УШ
Потом мы проверяем, что есть сшивка концентраций. Эта картинка вроде уже для сильного поля, для случая выше чёто не нахожу(
q концентрация «квантовая», c «классическая».
Дальше берёшь концентрацию носителей заряда из части этого ящика (например, от 50 до 150 на картинке выше), а вне ящика считаешь с помощью ФермиДирака или Больцмана, как лучше. С этой концентрацией снова решаешь Пуассона и дальше по кругу, пока не сойдётся. Таким образом ты найдёшь и распределение поля в образце, и волновые функции и всё, что надо.
в яме как на заглавной картинке или во внешнем поле?
берёшь ящик побольше и решаешь в нём. На нижние состояния ящик не должен повлиять. Так что по сути ты прав, занулить ок вариант.
видно, что волновая функция затухает далеко от границ ящика, так что похоже не правду. Хотя, наверное, если ещё раздвинуть то за барьером появится волна. В качестве критерия можно попробовать раздвигать ящик всё больше и больше и посмотреть, когда он перестанет влиять на уровни в яме. И да, во внешнем поле в совсем большом ящике основное состояние для ящика не будет основным состоянием для ямы, нужно аккуратно смотреть, искать именно связанные состояния.
эти дивные картинки ты программой получала, или както иначе? У меня нет написанной проги для Пуассона, с удовольствием стрельнул бы.
в маткадике делала, проги должны быть в универе. я пока болею, дома есть чтото недоделанное. могу просто рассказать суть происходящего, там вроде не очень сложно.
главное, поправляйся)
Мне совершенно не срочно, в общих чертах представляю, как это делать.