Давайте поговорим о искривлённых потенциальных ямах, синусоидах и превращении их в функции Эйри.
GD Star Rating
loading...
loading...
41 Responses to Давайте поговорим о искривлённых потенциальных ямах
Добавить комментарий Отменить ответ
Обсуждения в блоге
- ДОБРО ПОЖАЛОВАТЬ В НАУКУ!
- блогерс, кто может дать радиометр погонять на денёк?
- про IR лазеры теперь, чтоб те долго жили.
- Не уверен, что чисто алгебраические задачи будут тут уместны, но всё же.
- Швейцарские и грузинские археологи обнаружили в ходе раскопок человеческий череп, который доказывает, что уже 1,8 миллиона лет назад все люди, живущие на земле, принадлежали к одному и тому же виду приматов —
- Суббота.
- Господа, у меня своеобразный вопрос.
- Пару недель назад мы с каналом «Наука 2.
- Друзья, объясните мне пожалуйста, чем отличается альфа частица 3.
- Байты и биты.
Как известно, нулевое состояние в одномерной плоской яме с конечными стенками представляет собой горб синусоиды. Этот горб сшивается с экспонентами под барьерами. Ну и славно.
Когда дно ямы искривлено, подбарьерные экспоненты сшиваются с функциями Эйри… А вот и они, симпотяги!
Превращение синусоиды в композицию функций Эйри происходит буквально на наших глазах:
Превращение в силу известных причин плавное. Но хочется воскликнуть, как это возможно?
Оказывается, что на отрицательной полуоси функции Эйри — это синусоиды от забавной степени от z.
В аналитическом решении ямы с кривым дном в аргументе функций Эйри стоит k*(еЕ)^(1/3)*(z — Energy/(eE)). При малых наклонах, то есть, при малых еЕ, аргумент становится большим отрицательным числом. А при таких аргументах обе функции Эйри очень похожи на синусоиды.
Внимание, вопросы!
1. Какая из функций Ai и Bi вносит главный вклад и как это понять (не решая каждый раз уравнение для сшивки на границе с экспонентами).
2. Нужно ли это? То есть, нельзя ли ограничиться одной из них, раз уж они так похожи, без опасности значительной ошибки?
Ну и немного из другого акта оперы, повторю свой вопрос с мат.блогы: какой аналог функций Эйри для функций Бесселя?
оставлю одномерную реплику:.
это нульмерная реплика!
Ну и славно. [x]
вопросы! Ответьте мне на вопросы!
Доктор, меня все игнорируют!
1. если на вид больше похоже на синус, то Ai, если на косинус — Bi.
2. нет, не нужно. можно разок решить такую задачу и понять, что там будут функции Эйри, после чего никогда ими не пользоваться, а решать численно.
а вообще возможность выкинуть что–либо зависит от задачи. если ты решаешь Шредингера и у тебя выходит линейная комбинация функций, то выкинув одну из функций ты нарушаешь сшивку. если тебе наплевать, например, на производную, и ты хочешь просто нарисовать картинку, то почему бы не выкинуть. хотя я бы не стала ничего выкидывать до того, как напишу решение и оценю каждое из слагаемых.
каким методом ты решал задачу с треугольным дном? у ямы конечной глубины с треугольным непрерывный спектр. то, что ты получил, это уровень, вероятность обнаружить частицу на котором максимальна. но это я так, на всякий случай уточняю, чтобы зашедшим в пост не показалось, будто в такой системе спектр будет дискретным. потому что с точки зрения устоявшийся терминологии всё верно, это основное состояние.
хотя похоже что я вру. внешнее поле сделает спектр неприрывным, а в такой системе может быть и дискретный. надо подумать.
аналитическое решение может понадобиться чтобы развивать сложную статистическую теорию, учитывающую туннелирование и, может быть, какие–то транспортно–рекомбинационные процессы. Чтобы спектр посчитать можно и численно, конечно.
Спектр будет дискретный, барьеры же плоские и движение соответственно финитное. Ты путаешь с инфинитным движением, разве нет?
А решать задачу с треугольным дном можно в лоб. Даже если барьеры треугольные, то решение — всё равно Эйри. Даже ничего преобразовывать не надо, лишь переменную обезразмерить.
должен быть дискретным, я погорячилась.
ну если кому–то охота возиться, так тот пусть и думает о том, как ему удобнее волновую функцию записать. я бы всё равно не стала заморачиваться на виде волновой функции. есть потенциал, есть уравнение Шредингера и его решения, есть теория, которая через всё это выражает нужные нам вещи. мне хватит численного решения, чтобы воспользоваться этой теорией. далее, говоря о переносе, скорее всего речь всё же заходит о внешнем поле и в аналитике спектр будет непрерывным, придётся интегрировать по энергии, никакого красивого выражение не получишь. потенциал именно в таком виде, как у тебя нарисовано, не существует в реальных структурах, ну может только для диэлектриков. ты представляешь, как выглядит квантовая яма в реальном полупроводнике. нужно согласование пуассона и шредингера и дно у ямы выйдет совсем не треугольное. или яма входит в глубоко в область пространственного заряда, но я не могу представит такую ситуацию без внешнего поля.
да–да, ошиблась. нужно внешнее поле для непрерывного спектра. я просто насчиталась задач с внешнем полем, что уже ум за разум. но и в этом случае, решая задачу численно, ты бы получил дискретные уровни, т. к. нужен ящик. по крайней мере так, как решаю я, я получаю именно уровни с максимально вероятной энергией.
Как известно, нулевое состояние в одномерной плоской яме с конечными стенками представляет собой горб синусоиды.
ткните носом, пожалуйста, где про это почитать.
да вроде в Ландавшице в третьем томе есть. Так проще самому решить, пятиминутное же дело.
вы правы, вектор перпендикулярен и здесь видна лишь проекция моей ономерной реплики. 🙂
при таких размерах я бы тоже стал расчитывать на дискретность спектра состояний
нене, суть не в этом. если при таких размерах, но во внешнем электрическом поле, то спектр будет непрерывный.
хм, давайте рассмотрим мой лапоть:
Структура: Me–Ox–QDs–Ox–Me.
Поле: внешнее (ток пропустил)
Мерил: падение напряжения на контакте
Увидел (если не померещилось): лёгкое отрицательное дифф. сопртивление
Вывод (если не ошибаюсь): тунельный эффект, как доказательство дискретности спектра состояний
Картинка:
почему туннелирование должно доказывать дискретность?
кликабле
что за книга?
Пихтин А. Н., оптическая и квантовая электроника.
книга изумительная, но смотри, что он пишет:
Если внести z под корень, то видно, что размерность не уходит. А чтобы уходила, нужно брать кубический корень. Или опечатка, или ошибка.
ты на самом деле права, а я кругом виноват и молю о прощении. Спектр получится квазиинфинитный с резонансными пиками около некоторых частично локализованных состояний. Но вот Пихтин, к сожалению, ясности в определение положения резонанса не внёс. Он рассмотрел только случай малого поля, внеся поправки в яму с бесконечной стенкой по теории возмущения. Этот случай не соответствует большинству практических случаев, когда искривление по порядку величины равно энергии основного состояния.
Я пока придумал только одно соображение: занулить волновую функцию на границе треугольного барьера, где электрон переходит в классически доступную область. Не знаю, насколько оно разумно?
как это «внести z под корень»? Слагаемое? Под корень?
там z умножается на корень.
z — размерная координата или обезразмеренная? если размерная, то очевидно что–то не то, в первой скобке складываются с разными размерностями величины. Скорее поверю в то, что это опечатка, особенно с учётом того, как, как издательство подвело с этой книгой. Да и вряд ли Александр Николаевич сам решал для книжки эту задачу, скорее всего он её откуда–то списал.
размерная. И там складывается всё нормально, если считать что во втором слагаемом в знаменателе напряжение стоит.
Я решал и у меня получился кубический корень, но хотелось свериться, а тут такое.
да ладно? даже с плоским барьером, без внешнего поля? я начинаю путаться в этих ямах(
не, нельзя занулять. в классической области будет же не ноль, а волна де Бройля. Можно попробовать сшить с квазиклассической волновой функцией. Не знаю, имеет ли смысл делать это и приведёт ли к чему–либо.
Когда численно решают самосогласован Пуассона и Шредингера, обычно рассматривают большую область. Ясно, что во всей этой области решать Шредингера смысла не имеет, т. к. вдали от КЯ прекрасно работает классика. Выделяют ящик, внутри которого решается Шредингер, а вне ящика концентрация носителей заряда ищется как обычно, с помощью распределения Ферми–Дирака. Чтобы сшить классическую область с квантовой ямой, нужно подобрать ящик таким образом, чтобы на границах ящика или в некоторой области внутри него концентрация, рассчитанная для двумерного газа, совпадала с классикой, как будто бы решается только Пуассон. Сейчас поищу картинки попробую, чтобы как–то пояснить.
короче, ты всё правильно говоришь, тут слишком долго объяснять)
У меня задача выделить локализованные состояния в яме как на том отрывке книги Пихтина, что ты приводила. И для нахождения спектра нужно одно ещё гранусловие. Вообще оно берётся, если рассмотреть область вне барьера вплоть до границы кристалла — но это, очевидно, можно заменить на другое какое–то условие, более разумное и локальное. Вот я и беру точку, где функция выходит из–под барьера. Занулить, конечно, не очень хорошо, но первое, что приходит в голову.
короче, принцип примерно такой. Сначала мы решаем только Пуассона:
дальше вблизи ямы мы выделяем ящик и решаем в нём УШ
Потом мы проверяем, что есть сшивка концентраций. Эта картинка вроде уже для сильного поля, для случая выше чё–то не нахожу(
q — концентрация «квантовая», c — «классическая».
Дальше берёшь концентрацию носителей заряда из части этого ящика (например, от 50 до 150 на картинке выше), а вне ящика считаешь с помощью Ферми–Дирака или Больцмана, как лучше. С этой концентрацией снова решаешь Пуассона и дальше по кругу, пока не сойдётся. Таким образом ты найдёшь и распределение поля в образце, и волновые функции и всё, что надо.
в яме как на заглавной картинке или во внешнем поле?
берёшь ящик побольше и решаешь в нём. На нижние состояния ящик не должен повлиять. Так что по сути ты прав, занулить — ок вариант.
видно, что волновая функция затухает далеко от границ ящика, так что похоже не правду. Хотя, наверное, если ещё раздвинуть то за барьером появится волна. В качестве критерия можно попробовать раздвигать ящик всё больше и больше и посмотреть, когда он перестанет влиять на уровни в яме. И да, во внешнем поле в совсем большом ящике основное состояние для ящика не будет основным состоянием для ямы, нужно аккуратно смотреть, искать именно связанные состояния.
эти дивные картинки ты программой получала, или как–то иначе? У меня нет написанной проги для Пуассона, с удовольствием стрельнул бы.
в маткадике делала, проги должны быть в универе. я пока болею, дома есть что–то недоделанное. могу просто рассказать суть происходящего, там вроде не очень сложно.
главное, поправляйся)
Мне совершенно не срочно, в общих чертах представляю, как это делать.