Давайте поговорим о искривлённых потенциальных ямах, синусоидах и превращении их в функции Эйри.

размер 426x297, 5.85 kb

GD Star Rating
loading...
Tagged with →  

41 Responses to Давайте поговорим о искривлённых потенциальных ямах

  1. NiBubble:

    Как известно, нулевое состояние в одномерной плоской яме с конечными стенками представляет собой горб синусоиды. Этот горб сшивается с экспонентами под барьерами. Ну и славно.

    размер 500x349, 16.01 kb

  2. NiBubble:

    Когда дно ямы искривлено, подбарьерные экспоненты сшиваются с функциями Эйри… А вот и они, симпотяги!

    размер 353x200, 9.17 kb

  3. NiBubble:

    Превращение синусоиды в композицию функций Эйри происходит буквально на наших глазах:

    размер 500x349, 25.43 kb

  4. NiBubble:

    Превращение в силу известных причин плавное. Но хочется воскликнуть, как это возможно?

    Оказывается, что на отрицательной полуоси функции Эйри — это синусоиды от забавной степени от z.

    В аналитическом решении ямы с кривым дном в аргументе функций Эйри стоит k*(еЕ)^(1/3)*(z — Energy/(eE)). При малых наклонах, то есть, при малых еЕ, аргумент становится большим отрицательным числом. А при таких аргументах обе функции Эйри очень похожи на синусоиды.

    Внимание, вопросы!

    1. Какая из функций Ai и Bi вносит главный вклад и как это понять (не решая каждый раз уравнение для сшивки на границе с экспонентами).
    2. Нужно ли это? То есть, нельзя ли ограничиться одной из них, раз уж они так похожи, без опасности значительной ошибки?

  5. NiBubble:

    Ну и немного из другого акта оперы, повторю свой вопрос с мат.блогы: какой аналог функций Эйри для функций Бесселя?

  6. Ki77:

    оставлю одномерную реплику:.

  7. NiBubble:

    это нульмерная реплика!

  8. M2yls:

    Ну и славно. [x]

  9. NiBubble:

    вопросы! Ответьте мне на вопросы!

    Доктор, меня все игнорируют!

  10. ReDr:

    1. если на вид больше похоже на синус, то Ai, если на косинус — Bi.
    2. нет, не нужно. можно разок решить такую задачу и понять, что там будут функции Эйри, после чего никогда ими не пользоваться, а решать численно.

    а вообще возможность выкинуть что–либо зависит от задачи. если ты решаешь Шредингера и у тебя выходит линейная комбинация функций, то выкинув одну из функций ты нарушаешь сшивку. если тебе наплевать, например, на производную, и ты хочешь просто нарисовать картинку, то почему бы не выкинуть. хотя я бы не стала ничего выкидывать до того, как напишу решение и оценю каждое из слагаемых.

    каким методом ты решал задачу с треугольным дном? у ямы конечной глубины с треугольным непрерывный спектр. то, что ты получил, это уровень, вероятность обнаружить частицу на котором максимальна. но это я так, на всякий случай уточняю, чтобы зашедшим в пост не показалось, будто в такой системе спектр будет дискретным. потому что с точки зрения устоявшийся терминологии всё верно, это основное состояние.

  11. ReDr:

    хотя похоже что я вру. внешнее поле сделает спектр неприрывным, а в такой системе может быть и дискретный. надо подумать.

  12. NiBubble:

    аналитическое решение может понадобиться чтобы развивать сложную статистическую теорию, учитывающую туннелирование и, может быть, какие–то транспортно–рекомбинационные процессы. Чтобы спектр посчитать можно и численно, конечно.

    Спектр будет дискретный, барьеры же плоские и движение соответственно финитное. Ты путаешь с инфинитным движением, разве нет?

    А решать задачу с треугольным дном можно в лоб. Даже если барьеры треугольные, то решение — всё равно Эйри. Даже ничего преобразовывать не надо, лишь переменную обезразмерить.

  13. ReDr:

    должен быть дискретным, я погорячилась.

  14. ReDr:

    ну если кому–то охота возиться, так тот пусть и думает о том, как ему удобнее волновую функцию записать. я бы всё равно не стала заморачиваться на виде волновой функции. есть потенциал, есть уравнение Шредингера и его решения, есть теория, которая через всё это выражает нужные нам вещи. мне хватит численного решения, чтобы воспользоваться этой теорией. далее, говоря о переносе, скорее всего речь всё же заходит о внешнем поле и в аналитике спектр будет непрерывным, придётся интегрировать по энергии, никакого красивого выражение не получишь. потенциал именно в таком виде, как у тебя нарисовано, не существует в реальных структурах, ну может только для диэлектриков. ты представляешь, как выглядит квантовая яма в реальном полупроводнике. нужно согласование пуассона и шредингера и дно у ямы выйдет совсем не треугольное. или яма входит в глубоко в область пространственного заряда, но я не могу представит такую ситуацию без внешнего поля.

    да–да, ошиблась. нужно внешнее поле для непрерывного спектра. я просто насчиталась задач с внешнем полем, что уже ум за разум. но и в этом случае, решая задачу численно, ты бы получил дискретные уровни, т. к. нужен ящик. по крайней мере так, как решаю я, я получаю именно уровни с максимально вероятной энергией.

  15. AvLyrik:

    Как известно, нулевое состояние в одномерной плоской яме с конечными стенками представляет собой горб синусоиды.
    ткните носом, пожалуйста, где про это почитать.

  16. NiBubble:

    да вроде в Ландавшице в третьем томе есть. Так проще самому решить, пятиминутное же дело.

  17. Ki77:

    вы правы, вектор перпендикулярен и здесь видна лишь проекция моей ономерной реплики. 🙂

  18. Ki77:

    при таких размерах я бы тоже стал расчитывать на дискретность спектра состояний

  19. ReDr:

    нене, суть не в этом. если при таких размерах, но во внешнем электрическом поле, то спектр будет непрерывный.

  20. Ki77:

    хм, давайте рассмотрим мой лапоть:
    Структура: Me–Ox–QDs–Ox–Me.
    Поле: внешнее (ток пропустил)
    Мерил: падение напряжения на контакте
    Увидел (если не померещилось): лёгкое отрицательное дифф. сопртивление
    Вывод (если не ошибаюсь): тунельный эффект, как доказательство дискретности спектра состояний
    Картинка:

    размер 500x478, 26.40 kb

  21. ReDr:

    почему туннелирование должно доказывать дискретность?

  22. ReDr:

    кликабле

  23. NiBubble:

    что за книга?

  24. ReDr:

    Пихтин А. Н., оптическая и квантовая электроника.

  25. NiBubble:

    книга изумительная, но смотри, что он пишет:

    Если внести z под корень, то видно, что размерность не уходит. А чтобы уходила, нужно брать кубический корень. Или опечатка, или ошибка.

  26. NiBubble:

    ты на самом деле права, а я кругом виноват и молю о прощении. Спектр получится квазиинфинитный с резонансными пиками около некоторых частично локализованных состояний. Но вот Пихтин, к сожалению, ясности в определение положения резонанса не внёс. Он рассмотрел только случай малого поля, внеся поправки в яму с бесконечной стенкой по теории возмущения. Этот случай не соответствует большинству практических случаев, когда искривление по порядку величины равно энергии основного состояния.

    Я пока придумал только одно соображение: занулить волновую функцию на границе треугольного барьера, где электрон переходит в классически доступную область. Не знаю, насколько оно разумно?

  27. Amak:

    как это «внести z под корень»? Слагаемое? Под корень?

  28. NiBubble:

    там z умножается на корень.

  29. ReDr:

    z — размерная координата или обезразмеренная? если размерная, то очевидно что–то не то, в первой скобке складываются с разными размерностями величины. Скорее поверю в то, что это опечатка, особенно с учётом того, как, как издательство подвело с этой книгой. Да и вряд ли Александр Николаевич сам решал для книжки эту задачу, скорее всего он её откуда–то списал.

  30. NiBubble:

    размерная. И там складывается всё нормально, если считать что во втором слагаемом в знаменателе напряжение стоит.

    Я решал и у меня получился кубический корень, но хотелось свериться, а тут такое.

  31. ReDr:

    да ладно? даже с плоским барьером, без внешнего поля? я начинаю путаться в этих ямах(
    не, нельзя занулять. в классической области будет же не ноль, а волна де Бройля. Можно попробовать сшить с квазиклассической волновой функцией. Не знаю, имеет ли смысл делать это и приведёт ли к чему–либо.
    Когда численно решают самосогласован Пуассона и Шредингера, обычно рассматривают большую область. Ясно, что во всей этой области решать Шредингера смысла не имеет, т. к. вдали от КЯ прекрасно работает классика. Выделяют ящик, внутри которого решается Шредингер, а вне ящика концентрация носителей заряда ищется как обычно, с помощью распределения Ферми–Дирака. Чтобы сшить классическую область с квантовой ямой, нужно подобрать ящик таким образом, чтобы на границах ящика или в некоторой области внутри него концентрация, рассчитанная для двумерного газа, совпадала с классикой, как будто бы решается только Пуассон. Сейчас поищу картинки попробую, чтобы как–то пояснить.

  32. NiBubble:

    короче, ты всё правильно говоришь, тут слишком долго объяснять)

    У меня задача выделить локализованные состояния в яме как на том отрывке книги Пихтина, что ты приводила. И для нахождения спектра нужно одно ещё гранусловие. Вообще оно берётся, если рассмотреть область вне барьера вплоть до границы кристалла — но это, очевидно, можно заменить на другое какое–то условие, более разумное и локальное. Вот я и беру точку, где функция выходит из–под барьера. Занулить, конечно, не очень хорошо, но первое, что приходит в голову.

  33. ReDr:

    короче, принцип примерно такой. Сначала мы решаем только Пуассона:

    дальше вблизи ямы мы выделяем ящик и решаем в нём УШ

    Потом мы проверяем, что есть сшивка концентраций. Эта картинка вроде уже для сильного поля, для случая выше чё–то не нахожу(

    q — концентрация «квантовая», c — «классическая».

    Дальше берёшь концентрацию носителей заряда из части этого ящика (например, от 50 до 150 на картинке выше), а вне ящика считаешь с помощью Ферми–Дирака или Больцмана, как лучше. С этой концентрацией снова решаешь Пуассона и дальше по кругу, пока не сойдётся. Таким образом ты найдёшь и распределение поля в образце, и волновые функции и всё, что надо.

  34. ReDr:

    в яме как на заглавной картинке или во внешнем поле?

  35. ReDr:

    берёшь ящик побольше и решаешь в нём. На нижние состояния ящик не должен повлиять. Так что по сути ты прав, занулить — ок вариант.

  36. ReDr:

    видно, что волновая функция затухает далеко от границ ящика, так что похоже не правду. Хотя, наверное, если ещё раздвинуть то за барьером появится волна. В качестве критерия можно попробовать раздвигать ящик всё больше и больше и посмотреть, когда он перестанет влиять на уровни в яме. И да, во внешнем поле в совсем большом ящике основное состояние для ящика не будет основным состоянием для ямы, нужно аккуратно смотреть, искать именно связанные состояния.

  37. NiBubble:

    эти дивные картинки ты программой получала, или как–то иначе? У меня нет написанной проги для Пуассона, с удовольствием стрельнул бы.

  38. ReDr:

    в маткадике делала, проги должны быть в универе. я пока болею, дома есть что–то недоделанное. могу просто рассказать суть происходящего, там вроде не очень сложно.

  39. NiBubble:

    главное, поправляйся)

    Мне совершенно не срочно, в общих чертах представляю, как это делать.

Добавить комментарий