У меня есть пара элементарных вопросов. Вопрос первый будет про функцию Лагранжа, интеграл от которой определяет действие. Она не должна зависеть от координат, времени и направления скорости. Это вроде как следует из принципов относительности Галилея. Но откуда следует, что для материальной точки функция Лагранжа это квадрат скорости умноженный на массу пополам? Почему, например, не модуль скорости вместо квадрата?

GD Star Rating
loading...
Tagged with →  

24 Responses to пара элементарных вопросов

  1. Okanin:

    Минимум интеграла от функции Лагранжа задает истинную (соответствующую минимуму энергии) траекторию материальной точки.
    Сам Лагражиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий: image
    И поэтому, в частном случае, когда потенциальная равна нулю, Лагражиан равен v^2*m/2, то есть кинетической энергии.
    При этом сам Лагражиан не имеет физического смысла.

  2. Okanin:

    Лагражиан как раз зависит от координаты, первой производной (скорости) и времени, но не зависит от второй, третьей и т.д. производных.
    И да, преобразование Галилея не меняет минимум интеграла от функции Лагранжа, но это, скорее, из математических доказательств следует.

  3. Tranc:

    Это ты всё сейчас по памяти сказала? Я поражон 🙂

  4. Vbb:

    ну это я понимаю, да. При таком лагранжиане мы получим второй закон Ньютона и всю теоретическую механику. Но вопрос в том, как такой вид взялся. В ландафшице объясняется, почему лагранжиан не должен зависеть от направления скорости, координат и времени. Но вот не очень понятно, почему то, что называется кинетической энергией, имеет именно такой вид. Их рассуждения хватает только на объяснение того, как лагранжиан выглядеть не может.

  5. Vbb:

    Лагранжиан не зависит от координаты, если мы хотим вывести закон сохранения импульса. И он не зависит от времени, если мы хотим вывести закон сохранения энергии. И преобразование Галилея не только не меняет минимума интеграла, но и саму функцию Лагранжа тоже не меняет.

  6. Okanin:

    Не, преобразование Галилея пришлось подсмотреть, плохо у меня с ним всегда было 🙂

    Так ведь из второго закона механики кинетическая энергия и получается.
    F=ma
    a=dv/dt
    Умножаем все на приращение ds
    F*ds=m*(ds*dv)/dt
    F*ds=d(v^2*m/2)
    Если внешняя сила равна нулю, то
    V^2*m/2=const
    Эта величина и называется кинетической энергией, в изолированной системе — это интеграл движения.
    А сам второй закон Ньютона основывался на эмпирических наблюдениях.

    А в каком томе Ландау написано про Лагранжиан?
    Вообще, я бы советовала просто почитать хороший учебник по Методам Математической Физики. Физики пытаются объяснить математическую систему с точки зрения физики, а в случае таких одаренных ученых, как Ландау, это получается очень непонятным. Когда как все законы сохранения импульса и энергии следует просто из математических систем и работают даже для n–мерных пространств.

    Если подождете, попробую найти свои старые лекции по ММФ.

  7. Vbb:

    ну да, это так. Но в терминах первого тома Ландау (а начитался я именно его) как раз закон сохранения энергии выводится из уравнений движения. То есть последовательность такова:
    1. Ввели принцип относительности Галилея.
    2. Ввели функцию Лагранжа (неизвестно пока еще, как она выглядит).
    3. Из принципа наименьшего действия выписали уравнения движения.
    4. На основе пункта 1 нашли вид функции 2 и назвали ее положительную часть кинетической энергией.
    5. На основе 1, 3 и 4 нашли законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.

    Вот по четвертому пункту и вопрос. Мне кажется, что вид функции Лагранжа взят несколько с потолка. Не то, чтобы он меня не устраивал, просто есть какое–то недопонимание. В целом, я читаю первый том только для того, чтобы понять третий том, где квантовая механика.

  8. Nevib:

    Ты немножко бессвязно излагаешь. Лагранжиан не зависит от координаты и времени из–за однородности и того и другого. Нинако пишет про зависимость от координат, но она появляется при наличии внешнего поля, которое естественно снимает однородность пространства, а если оно зависит от времени, то и однородность времени.

    Модуль отбрасывается, так как модуль вообще не «физичная» функция. В физике все функции гладкие. А модуль не гладкий. Не зависимость лагранжиана от более высоких четных степеней отбрасывается, на сколько я помню примерно так: рассматриваем другую систему отсчета которая движется относительно предыдущей с бесконечно малой скоростью, а потом, исходя из того, что вид функции Лагранжа во всех системах отсчета одинаков, делается вывод, что зависимость квадратичная. Как именно делается постараюсь сейчас придумать, но в любом случае, это точно было в Ландафшице.

    Наконец, все это тебе точно не понадобится для чтения третьего тома. Из первого там используется только последняя глава про функцию Гамильтона. Зато все это очень нужно для понимания второго тома, там без этого никуда.

  9. Nevib:

    Да, и масса пополам — это просто введенный размерный коэффициент. Причем обычной массе он равен только если лагранжиан пишется в обычных прямоугольных декартовых координатах. В этом случае, это, по сути, просто определение массы.

  10. Vbb:

    в физике не все функции гладкие. При столкновении материальных точек друг с другом их скорости меняются мгновенно. А вообще, ты, похоже, понял мой вопрос. И я даже как–то продвинулся. В Ландафшице выводится, что производная лагранжиана по квадрату скорости не зависит от квадрата скорости. Отсюда сразу следует, что он по нему линеен, и все ок. Если я сейчас убежусь в том, что производная лагранжиана по квадрату квадрата скорости нелинейна по нему же, то я останусь доволен.

  11. Rotcif:

    Vbb> В целом, я читаю первый том только для того, чтобы понять третий том, где квантовая механика.

    Лагранжева и гамильтонова (нужна для третьего тома Ландафшица) механики хорошо излагаются в книге Владимира Игоревича Арнольда «Математические методы классической механики».

  12. M2yls:

    При столкновении материальных точек друг с другом их скорости меняются мгновенно.

    Где физика, и где материальные точки.

  13. Nevib:

    Вообще конечно ты прав на счет модуля. Меня он тоже всю жизнь печалил.

  14. Vbb:

    а что не так?

  15. M2yls:

    Не так — в физике не все функции гладкие.

    Все. Если мы говорим про физику. А не про материальные точки.

  16. Vbb:

    ты путаешь природу и физику с ее моделями. Это в природе все меняется непрерывно (и мне кажется именно это ты и имеешь в виду), и это в ней нет материальных точек. Зато они есть в физике — материальные точки, идеальные жидкости, абсолютно твердые и абсолютно упругие тела это модельные объекты из физики как науки.

  17. M2yls:

    Договорились, спорить не буду, мы поняли друг друга.

  18. Vbb:

    попробовал представить лагранжиан в виде функции от (v^2)^2. И все равно вышло, что он линеен по v^2. Неплохо.

  19. Niklybok:

    Она [функция Лагранжа] не должна зависеть от координат, времени и направления скорости.

    Это верно только для функции Лагранжа свободной материальной точки в ИСО. Независимость от координат и времени следует из однородности пространства и времени (неверно в НСО), от направления скорости — из–за изотропности пространства (тоже неверно в НСО).

    Зависимость от квадрата скорости выводится так. Функция Лагранжа обязательно должна быть гладкой функцией от координат, скоростей и времени. В Ландавшице это не оговорено, потому что очевидно. Убедиться в необходимости гладкости функции Лагранжа можно, если вспомнить, что производные фигурируют в определении важных интегралов движения, таких как импульс. Эти интегралы движения не могут меняться скачком, поскольку это противоречит принципу близкодействия. В квантовой механике с этим, конечно, возникают проблемы, думаю, поэтому Ландау и не заострил внимание на этом сложном моменте (Ландау вообще стервец был).

    Принимая во внимание непрерывность, можно уже по тексту учебника разобраться в твоём первом вопросе.

    А есть ещё вопросы?

  20. Vbb:

    в общем–то есть. В уравнениях движения координаты подразумеваются гладкими по времени функциями. Но если мы рассматриваем движение с абсолютно упругим отражением, то в точке отражения гладкость координаты нарушается. Как тогда такое движение может описываться такими уравнениями?

  21. Okanin:

    Для решения задач, в которых присутствуют точки разрыва в функциях, например скачки в значениях, вводятся кусочно–постоянные обобщенные функции, вроде функции Хэвисайда (кстати, производная от ф.Хэвисайда является Дельта–функцией), или функция sgnx (логичнее всего, что она будет использоваться для описания упругого ударения от стены).
    Эти функции на всем множестве значений R гладкие, т.е. имеют производные, кроме точки х=0, где производная равна бесконечности. А тут уже либо физик сходит с ума, либо говорит, что мол «бесконечности быть не может! Давайте возьмем какое–нибудь граничное условие…»
    А впрочем, не могу сказать, о чем точно думает физик 🙂

  22. GnimrahC:

    Физики не парятся, когда в неточных задачах получаются бесконечности. Просто лениво ж считать неупругие столкновения в самом деле.

  23. Niklybok:

    ответ очень простой: в строгом смысле столкновения выходят за рамки механики в термодинамику. Но если внутренняя энергия почти не изменяется, то можно просто не рассматривать само столкновение, считая, что оно происходит очень быстро.

  24. Niklybok:

    физик думает, что бесконечности — это издержки модели.

Добавить комментарий