Туннельные эффекты, уравнение Шредингера и прочие слова?

GD Star Rating
loading...

26 Responses to Есть тут знакомые с квантовой физикой?

  1. Iggal:

    Есть симметричный прямоугольный потенциальный барьер, на который налетает частица. Необходимо вывести график зависимости коэффициента отражения или прозрачности от отношения энергии частицы Е и потенциала барьера U

  2. Iggal:

    Аналитическое решение для случая, когда энергия частицы больше барьера, является чисто вещественным, график которого выглядит как–то так, выделено красным:

    размер 500x279, 298 kb

  3. Iggal:

    При этом, решая то же уравнения обыкновенным методом конечных разностней, у меня получается что–то вроде огибающей, она показана синим. Параметры там разные, поэтому выглядят не очень ровно

  4. Iggal:

    Так вот, как мне численными методами получить такой же результат, как при аналитическом решении? Учитывая то, что в численном методе ошибок нет, да и откуда им там взяться?

  5. Groaes:

    действительно, откуда им там взяться?
    График чего изображен — не вполне понятно. Частица летит справа? Где барьер? Какую разностную схему использовал? Какие параметры где разные?

  6. Erodelbr:

    Может быть, тебе увеличить точность численного метода? 🙂

  7. Nodlehs:

    некоторые разностные схемы убивают осциляции решения.
    я правда знаю это по опыту газовой динамики, но думаю, что в данном случае такое тоже вполне может быть

  8. Niklybok:

    Не знаю, что там у тебя не получается, у меня всё получилось:

    размер 500x349, 39.22 kb

  9. Niklybok:

    Хотя, у этой волновой функции есть особенность, которая меня смущает.

  10. Iggal:

    частица слева, барьер прямоугольный от –а до а, приложенный график — коэффициент отражения в зависимости от E/u0, где Е — энергия частицы, ноль красного графика в точке E=U0

  11. Iggal:

    можешь приложить график коэффициента отражения? в данном случае — квадрат модуля амплитуды прошедшей справа волны

  12. Iggal:

    там осциляция заметна невооруженным глазом, точность схемы в моем случае — второй порядок, как ни меняй шаг, ширину барьера, никаких намеков на похожее поведение.

  13. Iggal:

    тут дело в том, что у прошедшей волны, на периоде, зависящим от волнового числа, при определенных значениях начальной энергии частицы, коэффициент прозрачности (или отражения, одна фигня) имеет особенности, которые в численном решении напрочь отсутствуют. Можно точность до куба довести, но не думаю, что квадрат настолько сильно убивает эти осциляции, не должен, по идее

  14. Iggal:

    точнее тут график не отражения, а пропускания, при E>>U0 стремиться к единице, что логично

  15. Niklybok:

    давай так. Дай мне все значения: массу частицы в массах электрона, величину потенциала в эВ, ширину потенциала, диапазон энергии частицы в эВ, а я посмотрю, чем смогу помочь.

  16. Imimimim:

    то, что справа есть осцилляции?

  17. Niklybok:

    нет, справа свободная частица, всё нормально. Смущает, что при прохождении барьера функция поменяла знак. По–моему, это не ок.

  18. Imimimim:

    справа не должно быть осцилляций квадрата волновой функции, так как после прохождения барьера «электронной волне» уже не от чего отразиться. решение в правой части должно быть только в виде бегущей волны Aeikx. тогда квадрат ВФ будет Aeikx*Ae–ikx = A2 — не зависит от координаты.

  19. Imimimim:

    квадрат модуля ВФ, разумеется.

  20. Niklybok:

    это тоже интересно)

    Смотри: любое стационарное состояние (в котором модуль пси не зависит от времени) является финитным (см. параграф про стационарные состояния в третьем томе Ландавшица). В данном случае я считал, что частица движется после барьера в большой, но конечной области, что позволяет решать стационарное уравнение. А тогда, справа, далеко, есть стенка и волновая функция вещественна (действительная часть плоской волны) (см. в том же томе Ландавшица параграф про основные свойства УШ). Так что всё с этим ок.

    А! пока писал комментарий, понял, почему внутри барьера ноль получился. Довольно занятно: штука в том, что программа не знает, откуда налетает частица. Поэтому в данном случае она с обеих сторон налетает, поэтому слева положительная убывающая экспонента в барьере, а справа отрицательная возрастающая (по модулю убывающая, естественно). Если бы частица налетала только с одной стороны, то была бы монотонная экспонента.

    Всё, можете мне ставить пятёрку 🙂

  21. Imimimim:

    смотри:
    если ты будешь решать аналитически, то дело обстоит так:
    есть три области: область 1 — слева от барьера; область 2 — барьер; область 3 — справа;
    решения уравнения Шрёдингера (УШ) будут выглядеть следующим образом:
    область Aexp(ikx)+Bexp(–ikx)
    область Сexp(bx)+Dexp(–bx)
    область Fexp(ikx)+Gexp(–ikx)

    четыре из констант — B, C, D и F — можно найти из условия непрерывности ВФ и её первой производной на границах барьера. Ещё две — необходимо задать. Константа А характеризует «падающий поток». Константа G=0 — означает отсутствие отражённой волны за барьером. Электрон летит себе на бесконечность и летит, ничто ему не мешает. надеюсь, у меня пальцы не взорвутся от этой ужасной терминологии (см, например, Драгунов, Неизвестный, Гридчин)
    численное решение должно адекватно описывать эту ситуацию, а не выдавать осцилляции там, где их быть не может.

    когда ты запихиваешь систему в ящик, ты искусственно создаёшь нечто вроде резонатора для электрона. у тебя энергии, с которой электрон налетает на барьер, может вообще не оказаться среди собственных чисел гамильтониана.

    зачем тебе решать численно УШ в областях перед барьером и за барьером? Пока частица не долетела до барьера, она о нём не знает ничего. А ты знаешь точное решение: exp(ikx)+Bexp(–ikx). За барьером ты тоже знаешь точное решение: Fexp(ikx). Численно решать нужно только в области барьера.

    ящик нужен для нормировки ВФ. для определения коэффициентов прохождения и отражения на номировку можно вообще забить. если очень хочется, можно записать решение в виде:
    область (exp(ikx)+Bexp(–ikx))*Q
    область (Сexp(bx)+Dexp(–bx))*Q
    область Fexp(ikx)*Q
    затем задать ящик, и, проинтегрировав по нему, найти Q из условия нормировки.

    если бы частица налетала только с одной стороны, не было бы монотонной экспоненты, что видно из аналитического решения.
    а почему тебя не удивило, например, что после барьера вероятность может быть даже больше, чем до?
    я вообще не очень понимаю, что считает твоя программа. стационарные состояния асимметричной ямы? но тогда как ты задаёшь Е? да и что–то я себе не так их представляю для такой ямы, надо бы прикинуть.
    или у тебя свободная частица налетает на барьер, а за барьером у неё яма, определяемая слева U0, а справа — бесконечной стенкой? какое условие ты ставил на границе? хотя всё равно странно, что в свободном пространстве максимальная вероятность обнаружить частицу меньше, чем в максимальная вероятность в яме. или у тебя электрон справа налево летит?

    приходите на пересдачу 🙂

  22. Niklybok:

    это всё очень хорошо, что ты пишешь, я завтра подумаю, что тут получается.

    А программа считает очень просто: ей задают потенциал, она решает уравнение Шрёдингера. Просто, как мычание.

  23. Niklybok:

    ну да, ну да, стационарное УШ методом отыскания собственных векторов дискретизированного методом конечных разностей гамильтониана частицы.

  24. Niklybok:

    пока я думаю, подумай тоже над этим слагаемым: Сexp(bx).

  25. Imimimim:

    что именно я должна обдумать в этом слагаемом?

  26. Niklybok:

    его физический смысл.

Добавить комментарий