Туннельные эффекты, уравнение Шредингера и прочие слова?
GD Star Rating
loading...
loading...
Обсуждения в блоге
- ДОБРО ПОЖАЛОВАТЬ В НАУКУ!
- блогерс, кто может дать радиометр погонять на денёк?
- про IR лазеры теперь, чтоб те долго жили.
- Не уверен, что чисто алгебраические задачи будут тут уместны, но всё же.
- Швейцарские и грузинские археологи обнаружили в ходе раскопок человеческий череп, который доказывает, что уже 1,8 миллиона лет назад все люди, живущие на земле, принадлежали к одному и тому же виду приматов —
- Суббота.
- Господа, у меня своеобразный вопрос.
- Пару недель назад мы с каналом «Наука 2.
- Друзья, объясните мне пожалуйста, чем отличается альфа частица 3.
- Байты и биты.
Есть симметричный прямоугольный потенциальный барьер, на который налетает частица. Необходимо вывести график зависимости коэффициента отражения или прозрачности от отношения энергии частицы Е и потенциала барьера U
Аналитическое решение для случая, когда энергия частицы больше барьера, является чисто вещественным, график которого выглядит как–то так, выделено красным:
При этом, решая то же уравнения обыкновенным методом конечных разностней, у меня получается что–то вроде огибающей, она показана синим. Параметры там разные, поэтому выглядят не очень ровно
Так вот, как мне численными методами получить такой же результат, как при аналитическом решении? Учитывая то, что в численном методе ошибок нет, да и откуда им там взяться?
действительно, откуда им там взяться?
График чего изображен — не вполне понятно. Частица летит справа? Где барьер? Какую разностную схему использовал? Какие параметры где разные?
Может быть, тебе увеличить точность численного метода? 🙂
некоторые разностные схемы убивают осциляции решения.
я правда знаю это по опыту газовой динамики, но думаю, что в данном случае такое тоже вполне может быть
Не знаю, что там у тебя не получается, у меня всё получилось:
Хотя, у этой волновой функции есть особенность, которая меня смущает.
частица слева, барьер прямоугольный от –а до а, приложенный график — коэффициент отражения в зависимости от E/u0, где Е — энергия частицы, ноль красного графика в точке E=U0
можешь приложить график коэффициента отражения? в данном случае — квадрат модуля амплитуды прошедшей справа волны
там осциляция заметна невооруженным глазом, точность схемы в моем случае — второй порядок, как ни меняй шаг, ширину барьера, никаких намеков на похожее поведение.
тут дело в том, что у прошедшей волны, на периоде, зависящим от волнового числа, при определенных значениях начальной энергии частицы, коэффициент прозрачности (или отражения, одна фигня) имеет особенности, которые в численном решении напрочь отсутствуют. Можно точность до куба довести, но не думаю, что квадрат настолько сильно убивает эти осциляции, не должен, по идее
точнее тут график не отражения, а пропускания, при E>>U0 стремиться к единице, что логично
давай так. Дай мне все значения: массу частицы в массах электрона, величину потенциала в эВ, ширину потенциала, диапазон энергии частицы в эВ, а я посмотрю, чем смогу помочь.
то, что справа есть осцилляции?
нет, справа свободная частица, всё нормально. Смущает, что при прохождении барьера функция поменяла знак. По–моему, это не ок.
справа не должно быть осцилляций квадрата волновой функции, так как после прохождения барьера «электронной волне» уже не от чего отразиться. решение в правой части должно быть только в виде бегущей волны Aeikx. тогда квадрат ВФ будет Aeikx*Ae–ikx = A2 — не зависит от координаты.
квадрат модуля ВФ, разумеется.
это тоже интересно)
Смотри: любое стационарное состояние (в котором модуль пси не зависит от времени) является финитным (см. параграф про стационарные состояния в третьем томе Ландавшица). В данном случае я считал, что частица движется после барьера в большой, но конечной области, что позволяет решать стационарное уравнение. А тогда, справа, далеко, есть стенка и волновая функция вещественна (действительная часть плоской волны) (см. в том же томе Ландавшица параграф про основные свойства УШ). Так что всё с этим ок.
А! пока писал комментарий, понял, почему внутри барьера ноль получился. Довольно занятно: штука в том, что программа не знает, откуда налетает частица. Поэтому в данном случае она с обеих сторон налетает, поэтому слева положительная убывающая экспонента в барьере, а справа отрицательная возрастающая (по модулю убывающая, естественно). Если бы частица налетала только с одной стороны, то была бы монотонная экспонента.
Всё, можете мне ставить пятёрку 🙂
смотри:
если ты будешь решать аналитически, то дело обстоит так:
есть три области: область 1 — слева от барьера; область 2 — барьер; область 3 — справа;
решения уравнения Шрёдингера (УШ) будут выглядеть следующим образом:
область Aexp(ikx)+Bexp(–ikx)
область Сexp(bx)+Dexp(–bx)
область Fexp(ikx)+Gexp(–ikx)
четыре из констант — B, C, D и F — можно найти из условия непрерывности ВФ и её первой производной на границах барьера. Ещё две — необходимо задать. Константа А характеризует «падающий поток». Константа G=0 — означает отсутствие отражённой волны за барьером. Электрон летит себе на бесконечность и летит, ничто ему не мешает. надеюсь, у меня пальцы не взорвутся от этой ужасной терминологии (см, например, Драгунов, Неизвестный, Гридчин)
численное решение должно адекватно описывать эту ситуацию, а не выдавать осцилляции там, где их быть не может.
когда ты запихиваешь систему в ящик, ты искусственно создаёшь нечто вроде резонатора для электрона. у тебя энергии, с которой электрон налетает на барьер, может вообще не оказаться среди собственных чисел гамильтониана.
зачем тебе решать численно УШ в областях перед барьером и за барьером? Пока частица не долетела до барьера, она о нём не знает ничего. А ты знаешь точное решение: exp(ikx)+Bexp(–ikx). За барьером ты тоже знаешь точное решение: Fexp(ikx). Численно решать нужно только в области барьера.
ящик нужен для нормировки ВФ. для определения коэффициентов прохождения и отражения на номировку можно вообще забить. если очень хочется, можно записать решение в виде:
область (exp(ikx)+Bexp(–ikx))*Q
область (Сexp(bx)+Dexp(–bx))*Q
область Fexp(ikx)*Q
затем задать ящик, и, проинтегрировав по нему, найти Q из условия нормировки.
если бы частица налетала только с одной стороны, не было бы монотонной экспоненты, что видно из аналитического решения.
а почему тебя не удивило, например, что после барьера вероятность может быть даже больше, чем до?
я вообще не очень понимаю, что считает твоя программа. стационарные состояния асимметричной ямы? но тогда как ты задаёшь Е? да и что–то я себе не так их представляю для такой ямы, надо бы прикинуть.
или у тебя свободная частица налетает на барьер, а за барьером у неё яма, определяемая слева U0, а справа — бесконечной стенкой? какое условие ты ставил на границе? хотя всё равно странно, что в свободном пространстве максимальная вероятность обнаружить частицу меньше, чем в максимальная вероятность в яме. или у тебя электрон справа налево летит?
приходите на пересдачу 🙂
это всё очень хорошо, что ты пишешь, я завтра подумаю, что тут получается.
А программа считает очень просто: ей задают потенциал, она решает уравнение Шрёдингера. Просто, как мычание.
ну да, ну да, стационарное УШ методом отыскания собственных векторов дискретизированного методом конечных разностей гамильтониана частицы.
пока я думаю, подумай тоже над этим слагаемым: Сexp(bx).
что именно я должна обдумать в этом слагаемом?
его физический смысл.