Я вот хотел спросить: а кому–нибудь сейчас может быть интересно нетривиальное доказательство шестой (которая первая) теоремы Гёделя о неполноте?

GD Star Rating
loading...

22 Responses to теорема Гёделя о неполноте?

  1. neg:

    мне интересны все

  2. Zvnamore:

    Тут несколько основных вариантов, основаны на «парадоксе лжеца» и «парадоксе Берри».

  3. neg:

    вы меня обманываете

  4. Tnamo:

    а оно хоть понятное?

  5. Zvnamore:

    да вроде как понятное.

  6. Zvnamore:

    но я его пока только задумал в виде последовательности шагов, у меня нет еще развернутого описания. Если просто — то вместо «парадокса лжеца» и «парадокса берри» за основу при доказательстве берется парадокс о неопределенном размножении, с разбиением одной гетерогенной серии на две или более гомогенные серии.

  7. Tnamo:

    давай в виде комикса! (–:

  8. Rafol:

    Наш современник, выдающийся логик, В. А. Успенский написал в свое время популярную книжку на эту тему. Текст достаточно доступный — уровня «интересующегося школьника».

  9. Zvnamore:

    спасибо

  10. Zvnamore:

    почитал — первая мысль — насколько быстро после публикации это доказательство было оспорено? В доказательстве есть ряд допущений очень сомнительного свойства, хотя в целом сделано красиво.

  11. Rafol:

    Не понял вопроса. Почему оспорено? Какие допущения? Успенский не претендует на авторство этой теоремы, в книжке он популярно излагает ее доказательство, так, чтобы было понятно школьнику. Вы нашли у него ошибку?

  12. Zvnamore:

    и не одну 😉 На страницах 7–10, где собственно ставится задача, сформулировано несколько сомнительных утверждений. Начинает он с того, что не будет давать определения языка, а даст лишь пару понятий вроде «алфавит языка» и «множество истинных значений», таким образом подменяя поставленную только что задачу. Потом через несколько абзацев определяет доказательство через алгоритм проверяемости и алфавит языка. Можно было с тем же успехом начать со сферического коня в вакууме — зачем говорить о лингвистике и психологии, если он в ней не смыслит?

  13. Rafol:

    Это не ошибка, просто он щадит читателя, идет на некоторые упрощения, старается сделать изложение более понятным для неподготовленной аудитории, при этом, конечно, приходится пожертвовать строгостью.

    Естественно имеются книги в которых доказательство интересующей вас теоремы дано во всей строгости. Например Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика (с. 293) или Мендельсон Э. Введение в математическую логику (с. 159).

    Да, и при чем тут лингвистика с психологией?

  14. Zvnamore:

    ну он же начал о языка говорить — значит, вышел на поле лингвистики. Дело в том, что язык не состоит из слов, как он об этом пишет — вопрос этот весьма сложный, и резонно ожидать, что математик в нём не разбирается также как лингвист.

    За книги благодарю — с большим удовольствием читаю. В них, кстати, нет ошибки, допущенной первым автором — когда математик оперирует родными для него категориями, слова его прекрасны.

  15. Rafol:

    Я понял вас. Дело в том, что математики, как часто бывает, узурпировали «чужое» слово для обозначения своих штуковин. В математике есть понятие языка, но оно ни как не связано с естественными языками (русским, английским, и пр.). Язык как математический объект это просто набор слов, а слова это цепочки букв, а буквы — это элементы произвольного алфавита, а алфавит — это произвольное множество. Например, множество {1qw, w2ё, 111111, ёq, w} есть язык (по определению!) над алфавитом {ё, 1, q, w, 2}.

    Математики часто называют свои абстрактные конструкциям, используя слова из нашего общечеловеческого словаря. В алгебре, например, вводятся понятия «поле», «кольцо», «колчан», при этом они не имеют ни какого отношения ни к сельскому хозяйству, ни к ювелирной промышленности, ни к стрельбе из лука, соответсвенно.

  16. Hcna:

    Во–первых, в математике тоже есть термины «алфавит», «язык над алфавитом», «слово в языке» — вполне строгие понятия. Гёдель также пользовался ими в своём доказательстве.

    Во–вторых, что касается собственно Владимира Андреевича Успенского. Он, будучи математиком, является одним из основателей отеления прикладной лингвистики филфака МГУ — первого в нашей стране (и до сих пор одного из самых авторитетных) источника профессиональных лингвистов.

    Кроме того, он написал несколько важных для отечественной лингвистики научных статей (например, «О понятии фонемы»).

    Владимир Андреевич до сих пор ведёт научный семинар «Некоторые применения математических методов в языкознании», который начал работу под его руководством ещё в шестидесятые годы.

    Так что не стоит обвинять одного из самых уважемых в отечественной лингвистике людей в том, что он не смыслит в этой науке Ж8–)

  17. Zvnamore:

    о боже, он еще и лингвист? Я верю в то, что МГУ — это хорошая научная школа, и что он видный деятель науки, но мне его рассуждения видятся либо очень большим упрощением, либо какой–то узостью научных интересов.

    Пройдёмся по постановке задачи исследования:

    Почему он не даёт определения языка? Конечно, аргумент «мы будем называть языком то, что нам удобно так называть» — прекрасен, но это не ответ ученого. На страницах мы не встречаем внятного ответа.

    Почему он полагает язык статичным, особенно с тем учетом, что сам он говорит?

    Почему он не определяет понятия истины? Это не само собой разумеется.

    Почему он предполагает, что алфавит — это неделимые единицы языка? Как же такое определение преодолевает цепочки отношений сигнификации, в которых каждое «а» «б» и «в» отсылают к чему–то другому?

    Почему он говорит о том, что доказательство определять не будет?

    Почему у него логический критерий доказательства — истинность, а не условие истины?

    Само рассуждение автор окрещивает «семантическим», поскольку касается оно истинности и ложности арифметических суждений. С каких пор у нас смысл отождествился с денотацией?

  18. Hcna:

    Ты всё ещё хочешь воспринимать термин «язык» как что–то похожее на естественный язык, и это портит всё восприятие.

    Алфавит — это набор символов. Например, {a, b}. Алфавит — частный случай множества.

    Язык над алфавитом — это набор слов, составленный из символов некоторого алфавита. Например, язык {a, ba, baba, abba}.

    И язык, и алфавит могут быть бесконечными. Язык не обязательно должен охватывать все возможные сочетания символов своего алфавита.

    И алфавит, и язык по определению статичны, иначе мы говорим о последовательности алфавитов или языков.

    В теореме Гёделя, поскольку речь идёт о высказываниях в арифметике, под истинностью понимается вполне конкретная вещь — верность арифметического равенства или, вообще, высказывания. Так, {2 * 2 = 4} — верно, а {2 + 2 = 3} — ложно. Поскольку истинность и ложность в этом смысле можно установить, не прибегая к преобразованиям алгебры логики, а только лишь по законам арифметики, они называются семантическими.

    Доказательства некоторых положений опускаются, чтобы не загромождать изложение — всё–таки, это не доказательство теоремы Гёделя, а конспект доказательства.

  19. Zvnamore:

    вы прекрасно всё разъяснили мне, благодарю.

  20. Hcna:

    Во–первых, милости прошу, а во–вторых, ко мне лучше обращаться на ты Ж8–)

Добавить комментарий