У меня вопрос по простым числам.
Есть такая проблема Гильдбаха. Вкратце говорится, что любое нечётное число не меньше 7 можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Не доказана, но контрпримера пока нет.
Также всем известно, что простые числа в ряде натуральных чисел постепенно редеют. Мне пока не совсем понятно, редеют ли они до бесконечности, или всё–таки ограниченно. То есть если мы бежим по ряду натуральных чисел, суммируя их в N, и одновременно, натыкаясь на простое число, суммируем его в S, то в пределе к бесконечности S/N стремится к нулю, или к акому–то числу?
Я начал с проблемы Гильдбаха и реализовал алгоритм подбора для произвольного натурального числа n пачки простых чисел, дающих в сумме это самое n. Алгоритм эвристический, то есть сначала пробую 2+2+2, потом 2+2+3, потом 2+3+3, 3+3+3, 2+2+5… ну и так далее, пока не переберу все, или пока не упрусь в искомое число. Писать критерий перепрыгивания искомого числа не пришлось, так как алгоритм стабильно упирался в искомое число, формируя его из 2 слагаемых для чётного и из 2—3 слагаемых для нечётного числа.
Оставил только простые числа — получилось, что почти всегда слагаемых три, но иногда, если следующее простое число равно предыдущему + 2, то слагаемых становилось два. Мне не понравилось это нарушение гармонии, и я запретил алгоритму использовать 2 в качестве потенциального слагаемого. Воцарилась эдилия, я стабильно получал три слагаемых.
Прелесть алгоритма была в том, что самое большое слогаемое тройки было наименьшим из возможных. Однако его же недостаток был в том, что на больших числах он очень сильно тормозит. Однако, 1000 первых чисел мне хватило, чтобы понять, что слагаемые растут вместе с самим числом, и, начиная с какого–то момента, самое малое слагаемое не опускается ниже определённого значения. Тогда я плюнул на отображение самих чисел, и заменил их номерами. То есть не «19 = 5 + 7 + 7», а «#7 = #2 + #3 + #3». Так вот самым изумительным для меня стало то, что номер наименьшего слагаемого отличается от номера как правило не более, чем на 2—3, но в некоторых, довольно редких случаях, на 20.
Кроме того, для номера максимального слагаемого n–ного простого числа проглядывается математическое ожидание где–то в районе n/2.6. Так что я планирую оптимизировать алгоритм и пробежать хотябы 10 000 первых простых чисел. Но параллельно с этой оптимизацией я хочу спросить, может, кто–то это уже грыз? Если да, то где можно почитать соображения сильных умов на эту тему?
Спасибо.
a WordPress rating system
Уже посчитали до 10^18 варианты, тут много ссылок для дальнейшего чтения. Если вкратце, до сих пор не ясно, как можно безусловно доказать, что его гипотеза верна.
Ну собственно прочитав её, я и сел писать эту мутатень. Особо порадовала закраска красненьким для больших чисел. Другое дело, что я искал не любой вариант, а первый попавшийся, и он невероятным везением оказался обладателем таких вот замечательных свойств. Главным образом прикалывает не близость слагаемых между собой, а именно мат. ожидание номера. Он позволяет определить характер разредки.
«Я искал не любой вариант, а первый попавшийся»
Мне кажется, эта фраза затрагивает философские глубины мироздания!
Философское обоснование в том, что среди бесчисленного множества вариантов нужно сделать выбор. Выбор делать, как известно, тем сложнее, чем больше этих вариантов. Поэтому я рад, что мой «первый попавшийся» случайно оказался соответствующим критерию правильности тройки:
наибольшее слагаемое тройки должно быть наименьшим из возможных.
И везением я считаю то, что одинаковые свойства проявляют как решения для чисел, для которых этих решений вагон и маленькая тележка, так и для чисел, для которых данное решение чуть ли не единственное.
Я бы посоветовал почитать работы Терренса Тао. Он своего рода Сриниваса Рамануджан в простых числах. И часть его работ затрагивает разложение чисел в суммы. Вот пример одной из его лекций. //www.youtube.com/watch?v=PtsrAw1LR… Английским ведь все владеют?
Пусть S(n) — сумма простых чисел меньших или равных n. По моим прикидкам, S(n) имеет следующую асимптотику:
В частности, это означает, что интересующий вас предел равен 0.
Тогда уж бесконечности а не нулю
Почему? N(n) ~ n2/2 значит S(n) / N (n) ~ 1/ln(n) –> 0.
Все верно, я невнимательно прочитал пост, думал там про предел S(n)/n
«эдилия»?
впрочем, математикам простительно.
там ещё, блядь, «слогаемое».
бежать по простым числам, составляя все возможные суммы, или по заданному целому n>3 найти разложение в сумму трёх простых слагаемых числа 2n+1?