У меня вопрос по простым числам.

Есть такая проблема Гильдбаха. Вкратце говорится, что любое нечётное число не меньше 7 можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Не доказана, но контрпримера пока нет.

Также всем известно, что простые числа в ряде натуральных чисел постепенно редеют. Мне пока не совсем понятно, редеют ли они до бесконечности, или всё–таки ограниченно. То есть если мы бежим по ряду натуральных чисел, суммируя их в N, и одновременно, натыкаясь на простое число, суммируем его в S, то в пределе к бесконечности S/N стремится к нулю, или к акому–то числу?

Я начал с проблемы Гильдбаха и реализовал алгоритм подбора для произвольного натурального числа n пачки простых чисел, дающих в сумме это самое n. Алгоритм эвристический, то есть сначала пробую 2+2+2, потом 2+2+3, потом 2+3+3, 3+3+3, 2+2+5… ну и так далее, пока не переберу все, или пока не упрусь в искомое число. Писать критерий перепрыгивания искомого числа не пришлось, так как алгоритм стабильно упирался в искомое число, формируя его из 2 слагаемых для чётного и из 2—3 слагаемых для нечётного числа.

Оставил только простые числа — получилось, что почти всегда слагаемых три, но иногда, если следующее простое число равно предыдущему + 2, то слагаемых становилось два. Мне не понравилось это нарушение гармонии, и я запретил алгоритму использовать 2 в качестве потенциального слагаемого. Воцарилась эдилия, я стабильно получал три слагаемых.

Прелесть алгоритма была в том, что самое большое слогаемое тройки было наименьшим из возможных. Однако его же недостаток был в том, что на больших числах он очень сильно тормозит. Однако, 1000 первых чисел мне хватило, чтобы понять, что слагаемые растут вместе с самим числом, и, начиная с какого–то момента, самое малое слагаемое не опускается ниже определённого значения. Тогда я плюнул на отображение самих чисел, и заменил их номерами. То есть не «19 = 5 + 7 + 7», а «#7 = #2 + #3 + #3». Так вот самым изумительным для меня стало то, что номер наименьшего слагаемого отличается от номера как правило не более, чем на 2—3, но в некоторых, довольно редких случаях, на 20.

Кроме того, для номера максимального слагаемого n–ного простого числа проглядывается математическое ожидание где–то в районе n/2.6. Так что я планирую оптимизировать алгоритм и пробежать хотябы 10 000 первых простых чисел. Но параллельно с этой оптимизацией я хочу спросить, может, кто–то это уже грыз? Если да, то где можно почитать соображения сильных умов на эту тему?

Спасибо.

GD Star Rating
loading...
Tagged with →  

12 Responses to У меня вопрос по простым числам

  1. Zvin:

    Уже посчитали до 10^18 варианты, тут много ссылок для дальнейшего чтения. Если вкратце, до сих пор не ясно, как можно безусловно доказать, что его гипотеза верна.

  2. CiMoon:

    Ну собственно прочитав её, я и сел писать эту мутатень. Особо порадовала закраска красненьким для больших чисел. Другое дело, что я искал не любой вариант, а первый попавшийся, и он невероятным везением оказался обладателем таких вот замечательных свойств. Главным образом прикалывает не близость слагаемых между собой, а именно мат. ожидание номера. Он позволяет определить характер разредки.

  3. Peels:

    «Я искал не любой вариант, а первый попавшийся»

    Мне кажется, эта фраза затрагивает философские глубины мироздания!

  4. CiMoon:

    Философское обоснование в том, что среди бесчисленного множества вариантов нужно сделать выбор. Выбор делать, как известно, тем сложнее, чем больше этих вариантов. Поэтому я рад, что мой «первый попавшийся» случайно оказался соответствующим критерию правильности тройки:

    наибольшее слагаемое тройки должно быть наименьшим из возможных.

    И везением я считаю то, что одинаковые свойства проявляют как решения для чисел, для которых этих решений вагон и маленькая тележка, так и для чисел, для которых данное решение чуть ли не единственное.

  5. Ta:

    Я бы посоветовал почитать работы Терренса Тао. Он своего рода Сриниваса Рамануджан в простых числах. И часть его работ затрагивает разложение чисел в суммы. Вот пример одной из его лекций. //www.youtube.com/watch?v=PtsrAw1LR… Английским ведь все владеют?

  6. Rafol:

    Пусть S(n) — сумма простых чисел меньших или равных n. По моим прикидкам, S(n) имеет следующую асимптотику:

    размер 323x49, 2.44 kb

    В частности, это означает, что интересующий вас предел равен 0.

  7. Re:

    Тогда уж бесконечности а не нулю

  8. Rafol:

    Почему? N(n) ~ n2/2 значит S(n) / N (n) ~ 1/ln(n) –> 0.

  9. Re:

    Все верно, я невнимательно прочитал пост, думал там про предел S(n)/n

  10. Nr:

    «эдилия»?
    впрочем, математикам простительно.

  11. Xbiz:

    там ещё, блядь, «слогаемое».

  12. ArMatematik:

    бежать по простым числам, составляя все возможные суммы, или по заданному целому n>3 найти разложение в сумму трёх простых слагаемых числа 2n+1?

Добавить комментарий