Я тут написал на Хабр пост, но похоже им это не интересно. Поделюсь им с вами. Итак…

Как выиграть в лотерею
Намедни на Хабре был написан другой пост, в котором предлагалось попытаться найти выигрышную стратегию для интересной лотереи, в которой игрок в каждом коне игры может сам указывать свой шанс на победу, а в случае выигрыша устроитель лотереи берёт себе скромные 5%. Пусть его будут звать Геннадий Обмануев.
Как же возможно выиграть у Геннадия в казалось бы заведомо проигрышную игру?

Введем дополнительные условия:

1. Каждый кон мы будем ставить фиксированную ставку в 1 рубль.
2. Мы будем играть 10 000 конов, и потому возьмём наш стартовый капитал равным 10 000 рублей, чтобы в худшем случае мы не остались должны Геннадию и ушли от него просто с пустыми карманами.
3. Мы договариваемся с Геннадием о том, что раз уж мы сыграем много конов, то не удобно каждый раз когда мы выигрываем откуда-то брать 5 копеек, а потому мы платим ему его комиссию по результатам нескольких конов, благо деньги у нас есть. Это условие упростит понимание нашей стратегии игры.

Как выиграть у Геннадия?

Поскольку мы имеем возможность выбирать, с какой вероятностью выигрыша мы будем играть следующий кон, то действовать всякий раз будем так:
1. Подбрасываем обыкновенную монетку
2. Если выпадает орёл, то мы назначаем вероятность выигрыша в следующем коне лотереи равную 0.5
3. Если выпадает решка, то мы смотрим на оставшиеся у нас деньги, округляя копейки: если оставшаяся сумма кратна 5, то мы играем следующий кон с вероятностью выигрыша 0.1, если же оставшаяся у нас сумма не кратна 5, то играем кон с вероятностью выигрыша 0.75
4. Играем серию из 200 конов, после чего отдаём Геннадию комиссию за все выигранные нами коны.

Каковы будут результаты?

Как можно предположить, мы должны бы проигрывать. Действительно, все части нашей стратегии по отдельности должны приводить к проигрышу. Однако, численное моделирование показывает, что мы как правило будем оставаться в выигрыше. Ниже будет дана ссылка на строгое математическое объяснение.

интересная наука

На графике показан прирост нашего капитала по результатам серий из 200 игр каждая, всего 50 серий. В данном случае мы выиграли в результате десяти тысяч игр 692 рубля и 55 копеек.

Параметры стратегии в приведённом мною примере не уникальны и любознательный читатель получит удовольствие, найдя более выигрышное их сочетание.

Объяснение.

На примере этой лотереи мы наблюдаем математический парадокс Паррондо в действии. Парадокс заключается в том, что сочетание двух проигрышных игр, сыгранных достаточно много раз, при определенных условиях может быть выигрышным [1]. Это контр-интуитивно потому, что мы привыкли рассматривать такие игры как испытания Бернулли, не связанные друг с другом и упускаем из внимания тот факт, что в нашем случае капитал на который мы играем является фактором, делающим отдельные коны связанными друг с другом.
Парадокс используется как объяснительная модель в разных областях науки, от термодинамических феноменов до лингвистического анализа и новых подходов к сжатию данных [2].

1. S. N. Ethier, J. Lee: Limit theorems for Parrondo’s paradox
2. D. Abbot: Developments in Parrondo’s Paradox

GD Star Rating
loading...

38 Responses to Я тут написал на Хабр

  1. Sakone:

    А где еще таких же прекрасных, чтящих уголовный кодекс, парадоксов можно найти?
    Можно самую чуточку более прикладных: на примерах банковских кредитов-вкладов там.. ну или хотя бы счетчиков воды и газа?

  2. Zvnre:

    в покере турниры играть через интернет? Там много интересного можно сделать из того, что не работает в покер-румах, где игроки могут приходить и уходить.

  3. Eadno:

    А почему нельзя выбрать вероятность 1 и просто выигрывать всегда, отдав 5% с выигрыша?

  4. Zvnre:

    в оригинальном посте с задачкой вероятность выигрыша ограничена 94 процентами с верхней стороны и 10 процентами с нижней. Всё же это лотерея и организатор как будто всегда должен оставаться в плюсе. Удивляет другое — то что Хабр в едином порыве поддержал Геннадия, хотя там вроде программисты сидят.

    С парадоксами Паррондо вообще история интересная, потому что она расшевелила малость математиков и они придумали много интересных решений. Во второй статье по ссылкам в конце есть вообще сносящий голову пример — когда берутся две случайные последовательности, перемешиваются по определенным правилам, и между ними появляется автокорреляция, это очень противоестественно на первый взгляд.

  5. Peein:

    Потому что при вероятности один ты выигрываешь 0.

  6. Regcuk:

    какой-то бред написан:
    лотерею, в которой каждый игрок может сам указывать свой шанс на победу и, следовательно, множитель выигрыша и играть на выставленных им правилах!
    что значит указывать свой шанс на победу? пытаться его предугадать? или просто задавать вероятность выиграша?
    Если первое — то игра не имеет смысла: оптимальной тактикой будет всегда предугадывать вероятность как равную 0%, чтобы не платить комиссию.
    Если второе — то игра не имеет смысла: оптимальной тактикой будет всегда назначать вероятность победы в 100% и всегда выигрывать ценой уплаты 5%-ой комиссии.

    Или ты не сумел нормально описать условия.

  7. Peein:

    Мне кажется, ты чуток перепутал. Прикручивание каких угодно парадоксов не спасет тебя от Геннадия, т.к. в его условиях ты выигрываешь не плюсодин-минусодин, как в случае парадокса Паррондо, а пропорционально выбранной вероятности.

    Если бы Геннадий платил тебе плюсодин (минус пять копеек) вне зависимости от выбранной вероятности ставки, его можно было бы легко обыграть, выбрав в качестве вероятности выигрыша любое число больше чем 1/1.95.

    Парадокс Паррондо работает именно потому что в нем одна из компонент — вполне выигрышная игра («+1 с вероятностью 0.75»). У Геннадия такое не прокатит.

  8. Peein:

    Он недоописал условия, да, но если кликнуть по второй ссылке на хабр, всё становится яснее.

  9. Odaekb:

    : поставил рупь, установил выигрыш 100%
    получил назад, по формуле, тот же рупь за вычетом скромной комиссии
    сидишь счастливый, на руках 95 коп.

  10. Regcuk:

    да нет, там такой же бред написан:
    Х решил создать лотерею, в которой каждый игрок может сам указывать свой шанс на победу и, следовательно, множитель выигрыша и играть на выставленных им правилах! В конце каждой удачной игры Х берет символическую плату в 5% от выигрыша.

  11. Regcuk:

    по какой формуле? словами условие распиши.
    Если ты в казино ставишь ставку на орла или решку и выигрываешь — тебе возвращают твой рупь и дают ещё выигранный рупь.
    В твоём случае получается, что сколько бы ты не поставил — ты всегда проигрываешь как минимум 5%.

  12. Peein:

    … а вот вам объяснение Парадокса Паррондо без мистики.

    Рассмотрим две игры:

    1) Ты платишь 1 рубль.
    2) Если у тебя четное количество рублей, ты получаешь 3 рубля. Если у тебя нечетное количество — ты платишь 5 рублей.

    В начале у тебя 100 рублей.

    Очевидно, если играть в первую игру, через 100 конов ты останешься без денег.
    Если играть во вторую, ты останешься без денег через 200 конов.
    Если же играть, чередуя игры (вторая-первая-вторая-первая), можно нехило нагреться.

    И никаких монеток нафиг не надо.

  13. Peein:

    Дальше читай, там большими буквами формула подсчета размера выигрыша написана.

  14. Regcuk:

    ну это условие уже хоть какой-то смысл имеет.

  15. Regcuk:

    и что это меняет? всегда ставь максимальную ставку и шанс выигрыша 100%, в чём проблема?

  16. Peein:

    Шанс выигрыша 100%, размер выигрыша 0.95 от ставки. Т.е. ты даже ставку свою назад не вернешь.

  17. Regcuk:

    при размере выигрыша < 1 всегда подразумевается, что ты получишь этот выигрыш В ПЛЮС к своей ставке (т.е. её тебе вернут + дадут выигрыш).
    Если это не так, то получается, что ты в любом случае проигрываешь, а значит оптимальной тактикой будет — не играть совсем, либо если по условиям обязан играть — то ставить минимально возможную ставку.
    товарищь, чего-то ты тупишь.

  18. Peein:

    не, перечитай внимательно, там же даже поясняется, что схема — по сути честная лотерея с ожидеаемым доходом ноль, к которой добавлен геннадий, ворующий пять процентов. Например, при вероятности выигрыша 10 процентов, размер выигрыша в десять раз больше ставки (не учитывая геннадия)

  19. Regcuk:

    а, т.е. чем ниже вероятность выигрыша — тем выше сам выигрыш? Так и надо было сразу сказать.

  20. Odaekb:

    По ссылкам есть формулы.
    Казино не может платить рупь на бросок монеты — крупье надо платить зарплату.
    По формуле по ссылке, при вероятности 50%, при выигрыше ты получишь назад не 2 руб, а 1,90 (-5:.

  21. Regcuk:

    в условиях не было сказано, что чем ниже вероятность выигрыша — тем выше сам выигрыш, но теперь я понял, что это так.

    Парадокс заключается в том, что сочетание двух проигрышных игр, сыгранных достаточно много раз, при определенных условиях может быть выигрышным [1]. Это контр–интуитивно потому, что мы привыкли рассматривать такие игры как испытания Бернулли, не связанные друг с другом и упускаем из внимания тот факт, что в нашем случае капитал на который мы играем является фактором, делающим отдельные коны связанными друг с другом.
    Парадокс используется как объяснительная модель в разных областях науки, от термодинамических феноменов до лингвистического анализа и новых подходов к сжатию данных [2].

    Магия какая-то.
    Как тот факт, что коны связаны между собой должен влиять на случайные числа (выиграл/не выиграл)? Ну т.е. получается, что числа начинают генерироваться не случайным образом. По-моему бред какой-то.
    Для пущей наглядности, можно из условия совсем вырезать крупье и его комиссию: даже в этом случае, при любой тактике, результат должен получаться (при бесконечно большом числе игр) такой, что игрок останется ровно при своих же деньгах.

  22. Peein:

    там это сразу и сказано 🙂

  23. Amtite:

    А для условий реальных лотерей/онлайн-казино есть подобные выкладки? ^_^

  24. supnow:

    Пост математического обоснования халявы или её невозможности.

  25. Zvnre:

    как тогда объяснить положительный результат по 10 000 игр? Я считал честно, по формуле с Хабра.

  26. Peein:

    Покажи код, чё.

  27. Peein:

    На тему неожиданных положительных ожидаемых результатов из реальных лотерей есть клевая запощенная кем-то здесь когда-то статья. Есть более короткая (и может более простая) перефразированная версия того же эффекта по-английски.

  28. Ybauper:

    не понятно только почему это не используют в криптографии

  29. Zvnre:

    я считал в google Docs, в таблицах. Ячейку A1 (капитал до первого кона) прописываем равной 0, ячейку A2 (капитал на второй кон) заполняем формулой и растягиваем вниз, на нужное количество испытаний.
    =if(eq((Round(RANDBETWEEN(1,2), 0));1), (A1+(if((gt(RAND(), 0.5)), 1, -1))), (A1+(if ((Eq((MOD(A1, 5)), 0)), (if((gt(RAND(), 0.9)), 1, -1)), (if((gt(RAND(), 0.25)), 1, -1))))))

  30. Zvnre:

    сам парадокс открыт относительно недавно, публикаций о нём не так чтобы особо много. Так что всё впереди!

  31. Ybauper:

    отличная тема для дисера по ЗИ, кстате

  32. Peein:

    Обалдеть (это я про применение гуглдокса в таком виде, для меня это революционный способ написания итеративных программ).

    Парсер наверняка что-нибудь там сожрал (по крайней мере мой гуглдокс жалуется на ошибку синтаксиса, искать сам которую я не стану), но я и так вижу, что у тебя там написано что-то в духе «if((gt(RAND(), 0.9)), 1, –1)», что категорически противоречит идеям Геннадия о лотереях.

    Если ты делаешь ставку 1 и выбираешь вероятность выигрыша 0.9, то в «честной лотерее (без Геннадия)» ты при выигрыше будешь получать (взамен своей ставки) 1/0.9, т.е. в плюс тебе пойдет всего 11 копеек, а не «+1». При проигрыше конечно жу будет минус один. В ситуации с Геннадием будет примерно +10 копеек или -1 рубль.

  33. Peein:

    А как ты видишь использование этого в криптографии?

  34. Zvnre:

    м-м… Наверное я всё не так понял и совершил ошибку? Будет мне наука. Зато я рассказал о парадоксе Паррондо, наверное это тоже кому-то интересно.

  35. EhCCap:

    при условии, что дилер всегда забирает 5% получается та же рулетка, где казино всегда имеет 1/37, а ты сам выбираешь себе шанс на победу — хоть весь стол забомби фишками и на 37 равных ставок получишь 36 обратно

  36. Zvnre:

    мы уже разобрались, я неверно понял условие и решал другую задачу.

  37. Peein:

    Да, ты неверно понял формулу выплат у Геннадия. Ну подумай логически. Если бы Геннадий и правда предложил бы тебе выплачивать назад 1 рубль поверх ставки с вероятностью сильно больше 0.5, ты бы довольно быстро его обобрал, невзирая на пятипроцентный сбор, без каких-либо ухищрений.

    Предложение же Геннадия таково, что ожидаемый выигрыш каждой игры для тебя негативен, как ты его не поверни, а зависимости между играми никакой нет (зависимость, которую ты пытаешься всунуть в свою стратегию — это не то же самое, игра-то у тебя всё равно одна и та же и проигрышная).

  38. Ixain:

    http://www.cut-the-knot.org/ctk/Parrondo

    > The catch here is that, in order for the paradox to occur, all three games A, B1, and B2 can’t be losing. A typical assignment of probabilities would be p =.495, p1 =.095, and p2 =.745, which makes B2 a winning game.

Добавить комментарий