Вот вам задачка. Пусть f: R –> R — измеримая вещественнозначная функция вещественного аргумента. Верно ли, что ее образ f(R) — измеримое множество?

GD Star Rating
a WordPress rating system

19 Responses to Измеримое множество

  1. Ti3:

    Сигма–алгебра борелевская?

  2. Rafol:

    Тогда дайте пояснение какое–нибудь.

  3. Rafol:

    Нет, обычная, лебеговская.

  4. ErBoo:

    что то я в ступоре. она простая или с подковыркой? 🙂

  5. ErBoo:

    нет. не верно, т.к. любое множество на вещественнозначном интервале не является измеримым множеством.

  6. ErBoo:

    хотя если функция является измеримой то на множестве определена алгебра. и соответственно она не может существовать в классе эквивалентности вещественных чисел, то она существует на классе рациональных чисел. –> так что ответ да

  7. AmBoo:

    давайте пойдем от обратного
    если есть образ, значит отображение существует. Просто не все может быть отображено.

  8. Ya6:

    Функция измеримая, если любое измеримое множество переводит в измеримое и прообраз измеримого измерим. R измеримо => образ тоже.
    R измеримо, т.к. R принадлежит сигма–алгебре подмножеств R.

  9. Peels:

    Нет. Функция измерима, если прообраз измерим, обратное не требуется.

    Я вот подозреваю, что ответ на задачу «нет» и можно привести пример измеримой функции, у которой образ R является какой–нибудь глюкавой штукой.

  10. Ya6:

    Пусть K — канторова функция (канторва лестница). Определим на [0,1] функцию
    Q(*) = * + K(*) 0<=*<=1
    т.к. K(*) — монотонна и непрерывна на [0,1]
    Q(*) будет топологическим отображением, которое отображает измеримое множество на неизмеримое.
    Вроде получается контрпример.

  11. ErBoo:

    а с чего вы решили что образ Q(*) будет неизмеримым множеством?

  12. Rafol:

    Кстати, для борелевских функций задача намного содержательнее, хотя ответ аналогичный.

  13. Rafol:

    Дам намек. Ответ на вопрос задачи отрицательный. Докажите, что образом измеримой функции может быть любое подмножество R (в частности и любое неизмеримое).

  14. Rafol:

    Подскажу еще немного. Существует множество меры 0, имеющее мощность континуума.

  15. Ssoff:

    Я тут посижу немного.
    Пятнадцать лет назад все эти слова для меня складывали в осмысленные фразы.
    Сейчас страшно перечитывать 🙂

  16. Ta1:

    когда не знаешь, что отвечать на семинаре по функану, нужно с легкой улыбкой говорить «канторово множество». 🙂

  17. Peels:

    Но оно ж счетное, не?

  18. Rafol:

    Да, нет. Континуальное оно.

Добавить комментарий