Привет, чуваки

3 попарно внешне касающиеся окружности с известными радиусами, между ними расположена четвёртая, внешне касающаяся их. Необходимо найти её радиус.

Где–то это было

GD Star Rating
loading...
Tagged with →  

29 Responses to Нужно найти радиус

  1. Dr4:

    в порядке бреда: если соединить центры всех 4 окружностей, получается 3 треугольника
    причем каждая сторона = сумме двух радиусов
    если выразить площади через полупериметр (формула непомнюкого), получается относительно красивое уравнение, но вот как его решать?

  2. Legof:

    центр этой большой окружности есть центр равностороннего треугольника, вершинами которого являются точки касания окружностей, а стороны равны радиусу.
    радиус большой окружности будет равен (радиус малой окружности + высота треугольника + длина перпендикуляра опущенного из центра треугольника на его сторону)
    дальше школьные формулы, как это всё вычисляется.

  3. Legof:

    каждая малая окружность будет состоять из 6 таких треугольников — это чтобы было проще понять, почему высота.

    центр треугольника — в данном случае это точка пересечения всех высот треугольника

    а ещё проще — нарисуйте и сразу всё станет понятно.

  4. Legof:

    при чём, как я вспоминаю эти формулы — там всё решается в уме с помощью синусов, поскольку угол этого треугольника равен 60*, а его синус соответственно равен 1/2

  5. Legof:

    5–й класс короче (или где там сейчас теорему пифагора проходят)

  6. Legof:

    косинус этого угла равен корень из трёх пополам.
    это если кто захочет карандашом на бумаге решить.

  7. Legof:

    в подмогу — сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов

  8. Legof:

    ещё в подмогу — в равностороннем треугольнике его высота одновременно является медианой и биссектрисой.

    ну а дальше остаётся только ответ вычислить.

  9. Legof:

    не знаю, как сейчас, но в советское время это была задача для средних классов

  10. Legof:

    не знаю, как сейчас, но в советское время это была задача для средних классов

  11. Legof:

    а теперь рассмотрим условие, когда окружности с разными радиусами.
    но принцип, я думаю, вы уловили — находим треугольник, образованный точками касания, его углы, его центр — дальше дело техники — от его центра можно найти самую далеко отстоящую точку каждой окружности. затем нарисовать треугольник через эти точки и найти его центр, который и будет являться центром большой окружности

  12. Peels:

    Ух, пафосу–то сколько. При том сам нифига же не решил (да и вообще задачу не до конца понял). Обрати внимание, что во–первых, окружности разных радиусов, а во–вторых, искомая окружность «между» ними.

  13. Re:

    Теорема Декарта поможет тебе

  14. Noev:

    Эко вас батенька к двум ночи то расплющило.

  15. Legof:

    ну так её центр и будет центром треугольника — по ссылке на теорему декарта убедитесь, что это так.
    я же рассмотрел более сложный случай — это по сути одна задача.
    и да — я не решал, а вспоминал из памяти — без всяких подручных средств.
    задача простая — я её на бумаге в школе расчитывал без всяких калькуляторов и тем более компьютеров

  16. Peels:

    Ага, только треугольник тот нифига не равносторонний в общем случае (поэтому «центр» — это громко сказано), и то, как найти его вершины (точки касания окружностей) ты нам не рассказал — а в этом в общем–то и заключается вся сложность.

    Слезай с коня, Дартаньян, задача вполне непростая, Декарт молодец.

  17. Legof:

    тут полностью если решать — на час устно — размечтались, неучи )))
    решайте сами, я лишь коротко вам алгоритм намечу:

    просто эти вершины найти
    точка соприкосновения 2 окружностей — это единая точка соприкосновения каждой окружности с касательной.
    если провести радиус в эту точку,, то он будет строго перпендиклярен (угол 90 градусов) касательной по определению.
    получается, что радиусы к точкам соприкосновения окружностей лежат на одной линии (90+90=180 градусов).
    то есть мы точно знаем все стороны треугольника, соединяющего центры окружностей, стороны которого проходят через точки соприкосновения окружностей.

    есть три формулы о треугольнике (основанные на теореме пифагора) из школьного курса физики:
    1. третья сторона треугольника находится, если известны 2 стороны и угол между ними.
    2. две стороны находится, если известна сторона и прилегающие углы.
    3. все углы находятся, если известны три стороны.

    далее: можно вычислить все стороны и углы треугольника, соединяющего точки касаний трёх окружностей.

    искомая окружность внутри него, но не вписана
    тут такой момент — это проще понять, если нарисовать.
    но я на словах
    каждая окружность оставляет внутри треугольника дугу со стороной в качестве хорды — так вот — максимально отстоящая точка дуги от стороны треугольника — будет являться точкой касания искомой вписанной окружности и одновременно, перпендикуляр из этой точки на сторону будет приходиться ровно на середину.
    можно вычислить расстояние от этой точки до стороны треугольника как разницу между радиусом родительской окржности и высотой (одновременно медианой) треугольника этой родительской окружности с основанием=стороне треугольника, соединяющего точки касания окружностей.

    когда узнаете эти расстояния — можно вычислить треугольник, который будте соединять эти три точки, то есть вписан в искомую окружность.

    формула, вычисляющая окружность треугольника — тоже школьный курс.

    вперёд, лентяи.

    под центром треугольника подразумевается центр описывающей его окружности.
    по крайней мере — это я имел в виду.
    это формулы изз школьного курса

  18. Legof:

    Декарт молодец, потому что, если ты забыл школу, то в любой теореме помимо вычислений надо привести доказательство, что точка пересечения одна, а не 20, и прочую абстрактную лабуду для вполне очевидных вещей.
    а чтобы решать конкретные задачи — эти доказательства не нужны.

  19. Legof:

    три теоремы из школьного курса ГЕОМЕТРИИ конечно же, а не физики

  20. Legof:

    всё–таки, в советское время мозги развивали лучше думать. без всяких интернетов.
    а сейчас — спасительная палочка — википедия и гугл, а там нет, ой что делать сразу..
    тьфу.

    мозги даны!
    вон Каспаров супермозг обыграл в своё время.
    человек может творчески подходить к решению, а не просто перебирать варианты, как робот.

    желаю вам этому научиться

  21. Legof:

    всё–таки, в советское время мозги развивали лучше думать. без всяких интернетов.
    а сейчас — спасительная палочка — википедия и гугл, а там нет, ой что делать сразу..
    тьфу.

    мозги даны!
    вон Каспаров супермозг обыграл в своё время.
    человек может творчески подходить к решению, а не просто перебирать варианты, как робот.

    желаю вам этому научиться

  22. Peels:

    максимально отстоящая точка дуги от стороны треугольника — будет являться точкой касания искомой вписанной окружности

    Это неверно.

    Выключай пафос и слезай с коня, а то ты свое замечательное советское образование в конец дискредитируешь тут. Кстати, пафос к образованию прилагался бесплатно или ты потом на курсы повышения квалификации еще ходил?

    размер 253x302, 8.31 kb

  23. Legof:

    нафиг с пляжа
    я может не так выразился (ну а хули хотите я тут из ума буду всё вытаскивать без доски и чернил — ни строчки не нарисовал). но я сказал, что треугольник этих точек будет вписан в искомую окружность.
    ВСЕГДА!
    а то что он образован на точках, которые при проекции на стороны треугольника, образованного на точках пересечений изначальных окружностей, дают ровно середину этих сторон — это 100%
    по своему же рисунку и проверь.

    я эти задачи решал в школе.
    сейчас я просто вспоминаю!
    без всяких спецпрограмм.
    я знаю, что теоремы, которые я привёл, есть в школьном курсе, но как точно выглядят их формулы, забыл.

    знание треугольников в таких задачах — основное (ну ещё конечно, про синусы и прочие азы) — из них можно вывести какие угодно углы и соотношения.

    учитесь лучше, чтобы головой думаТь, а не компьютером.

  24. Dr4:

    я сказал, что треугольник этих точек будет вписан в искомую окружность.
    ВСЕГДА!

    охуенно глубокая мысль: треугольник, образованый окружностью и чем–то ещё, вписан в эту окружность

    ты правда немножко перегибаешь с пафосом и спецпрограммами

  25. Legof:

    кривда.
    мозги включи.
    тебе ещё на блюдечке разжевать?
    возьми обычный учебник геометрии — и прочти.

    есть вопросы — спрашивай по существу, а абстрактное непонимание лечится средней школой, начиная с первого класса.
    и на 8–м лучше его не заканчивать, а таки познать до последнего.

  26. Peels:

    нафиг с пляжа

    О, у вас к образованию, развившему ваш мозг, помимо пафоса было приложено также упертое невежество и рудиментарные хамские навыки, ну давайте же еще поглумимся над вами, я как раз в настроении! Только не надо потом по этому поводу нервничать, сами напросились.

    Во–первых, не стоит отмазываться про «не так выразился», вас прекрасно поняли. Выше приведена картинка, сделанная кстати с помощью программы геометрических построений С.a.R., чтобы не было придирок что я на глаз что–то не так нарисовал. На ней мы видим дуги трех попарно касающихся окружностей, и точки их касания, которые формируют треугольник.
    «Искомая окружность внутри него, но не вписана», как вы правильно заметили. Как нам искать эту окружность? По вашим данным окружность проходит через центры трех дуг. Что ж, я построил центры дуг и провел через них окружность. Является ли она касательной к трем изначальным? По чертежу прекрасно видно, что не является.

    Парковка для белых коней у нас тут неподалеку, рядом с магазином. Слезайте с животного, оно вас не выдерживает.

  27. Rafol:

    Бросьте вы ними спорить. Вопрос детский — школьная геометрия. Посмотрите лучше эту тему. Вот там интересный вопрос обсуждается: общая система всей физики! Я сам всего того, что автор говорит не понял — на бикватернионах застрял. Может вы глубже дойдете, до сути доберетесь. Мне ваше мнение очень интересно.

  28. LeCrazy:

    я тоже тоскую по советскому времени. Карательная психиатрия, ммм.

Добавить комментарий