Вот такой вопрос, сходу что–то не сообразить.
Первый (второй?) класс, дети изучают умножение. Определение умножения:a*b = a+a+…+a b раз.
Правило: от перестановки множителей сумма не меняется.
Какой–нибудь особо педантичный первоклассник спрашивает «Почему?»
И вот как объяснить ему, почему, исходя из этого определения и из того, что он уже знает?

GD Star Rating
loading...
Как объяснить принципы умножения?, 4.0 out of 10 based on 1 rating
Tagged with →  

49 Responses to Как объяснить принципы умножения?

  1. RARw:

    Геометрическое пояснение не катит?

  2. Ci:

    первый класс, какая геометрия?

  3. 905xela:

    от перестановки множителей сумма не меняется. Произведение не меняется.

  4. Ci:

    Ну то есть можно, конечно, по индукции, исходя из очевидного a*1 = 1*a, но это слишком сложно, мне кажется. Есть что–нибудь с кучками яблок или чем–то в этом роде?

  5. Ci:

    ну конечно, пресвятая Дева Мария и святые угодники, конечно, произведение! Лопни мои глаза!

  6. 905xela:

    Доказательство нужно? Коммуникативный закон. Наверное в интернете есть.

  7. Ci:

    ага, ну то есть первоклассник спрашивает «почему»? а ему: «коммуникативный закон, сиди не умничай».

  8. 905xela:

    И подзатыльника отвесить.

  9. Peels:

    Обычная геометрия: пять рядов по десять яблочек — это то же самое что десять рядов по пять яблочек — и картинка в нагрузку.

    Алгебраически аналогичное можно например и так описать:
    b*a = a + a + a.. = (1 + 1′ + 1» + 1»’ + …) + (1′ + 1» + 1»’ + 1»» …) + … = (единицы «раскрашены» разными цветами, перегруппировываем, берем первые единицы из всех скобок, потом вторые, потом третьи … ) = (1 + 1 + 1 …) + (1′ + 1′ + 1′ … ) + (1» + 1»+ 1» …) = b+b+b … = a*b

    или скажем так:
    b*a = a + a + a + a … = (a–1) + (a–1) + (a–1) … + 1 + 1 + 1 + 1 = b*(a–1) + b = … = b*(a–2) + b + b = b*(a–3) + b + b + b = … = b + b + b + b + b … (а раз) = a*b.

    но вряд ли это все понятнее чем нарисовать прямоугольничек с точечками.

  10. Ak:

    в учебнике Петерсон умножение через площадь объясняется, очень доступно, на мой взгляд.
    полоски длиной в а клеточек складываем друг на дружку b раз. ну а потом получившийся прямоугольник перевернуть и рассмотреть с другой стороны, чтоб требуемое свойство рассмотреть.

  11. Ci:

    вот с геометрией у первоклассника будет такой контраргумент: это просто так нарисовано, что все сходится, а если нарисовать яблоки кучками, а не рядами?
    Алгебраические способы всем хороши, кроме этого многоточия.

  12. Ak:

    алгебраические способы как раз плохи, потому что у первоклассника предметно–действенное мышление. яблоки вообще не рисовать можно, а настоящие взять и поиграть ими, выкладывая по–разному — хоть кучками, хоть в ряды.

  13. Yirbmab:

    так и скажи: «суперпозиция — что непонятного?»

    теперь кроме шуток. возьми n бумажек, где n–количество бумажек, которое будет не лениво сделать, нарисуй на каждой по k чёрточек или кружочков. теперь можешь перемешивать бумажки и давать пересчитывать кружочки/чёрточки

  14. Yirbmab:

    упс, я, кажется, невнимательно прочитал пост. прошу прощения

  15. Ci:

    это демонстрация, а не доказательство. Можно и просто посчитать через сложение n*k и k*n. Да, они совпадут. А где гарантия, что так будет каждый раз?

  16. Yirbmab:

    после внимательного прочтения всплывает слово «объяснить». с формальным доказательством ничего общего не имеет, не так ли?

  17. Ci:

    поскольку первоклассник педантичный, то интересует именно доказательство, но не выходящее за рамки известного ему матаппарата.

  18. Yirbmab:

    так ты и есть автор! ладно, молчу–молчу

  19. Peels:

    Определение: Результатом умножения целого числа * на целое число Y будет количество яблок в прямоугольнике выложенном из Х рядов яблок и У столбцов яблок.

    Лемма: Прямоугольник Х на У содержит столько же яблок, как и прямоугольник У на Х.
    Полуформальное доказательство: Первый получается из второго поворотом на 90 градусов (ибо при нем ряды прямоугольника становятся столбцами и наоборот).

    Следствие: **Y = Y**.

  20. Ci:

    нет–нет, определение — то, что я написал выше. А тебе теперь придется еще доказывать эквивалентность двух определений.

  21. DnMath:

    Это нельзя доказать, это аксиома.

  22. Yirbmab:

    скорее свойство поля вещественных чисел, заданное в определении

  23. Si:

    1′ + 1» + 1»’ + 1»»
    «Когда я был маленький, я учился дифференцировать константу. Сначала небольшую, где–нибудь пять–десять, но с каждым днём я понемногу её увеличивал…»

    Извините.

  24. Peels:

    Ну тут ты наверное справишься, не?

    Лемма: а+а+а+а… (б раз) равно количеству яблок в прямоугольнике а х б.

    Доказательство:
    Очевидно что а — количество яблок в прямоугольнике а х 1.
    Если мы доложим снизу а яблок — получим прямоугольник а х 2, в котором будет а+а яблок. Далее, чем объяснять ребенку принцип математической индукции, показываем еще несколько аналогичных шагов и он улавливает суть, что а * б яблок — это ровно столько сколько в этом вот прямоугольнике.

    Хочешь–не–хочешь, а объяснить этот факт придется все равно, ибо человек, знающий что ab=a+a+a…, но не понимающий как это связано с прямоугольником ничего не знает про умножение.

  25. RARw:

    яблоки–то я вроде считаю независимо от определения каких–то там полей 🙂

  26. Peels:

    Данутыче! Может в некоторых теориях высшей математики это и аксиома, но для банальной арифметики это следствие, элементарно доказывающееся по индукции.
    В начальной школе лучше все–таки объяснять что откуда взялось. Потом когда вырастут — сами решат, где аксиома, а где логичная конструкция.

  27. DnMath:

    Ну да, свойство.

  28. DnMath:

    Коммутативное свойство.

  29. 15:

    Скажи ему, что мы рассматриваем поле натуральных чисел N, на котором определены операции сложения и умножения, обладающие свойствами коммуникативности, ассоциативности и дистрибутивности.

  30. RARw:

    Это формулируется короче: «Так задумано».

  31. LeBig:

    — Товарищ прапорщик, а сможете провести урок астрономии в школе юных космонавтов?
    — Смогу.
    — И вопросов учеников не боитесь? Они ребята умные и въедливые.
    — Нет.
    После урока:
    — Ну что, вопросы были?
    — Только один. Какой–то умник спросил: «С каких это пор Солнце вокруг Земли вращается?»
    — И что Вы ответили?
    — Я ответил уклончиво: — «Мол, пошел ты на фиг!»

  32. LeBig:

    Может быть так: у тебя есть 6 яблок. Ты можешь раздать троим друзьям по два яблока или двоим друзьям по два яблока. Мне кажется наглядно.

  33. ReMonkey:

    не сходится

  34. Ak:

    всего–то добавить: а ещё два яблока съесть

  35. Ak:

    но тогда не интересно выходит — что в первый, что во второй раз яблоки на троих делятся

  36. LeBig:

    боянистый анекдот для программистов:
    Буратино дали три яблока.
    Два он съел.
    Сколько яблок осталось у Буратино?
    Думаете одно?
    Нифига.
    Никто же не знает сколько у него уже было яблок до этого.
    мораль: обнуляйте переменные

  37. LeBig:

    … или двоим друзьям по три яблока

  38. Ci:

    ох, я тупица. сообразил наконец. с яблоками, но без прямоугольников.
    пусть у нас есть m кучек по n яблок. если нам удастся так их переложить, чтобы стало n кучек по m яблок, то дело в шляпе. берем по яблоку из каждой кучки и делаем новую кучку — в ней m яблок. И так n раз. В результате имеем n кучек по m яблок, а старых кучек не осталось вовсе.

  39. Peels:

    Сочувствую детям, которые так и не узнают что умножение — это тупо прямоугольник.

  40. DnMath:

    А почему эти кучки должны сойтись?

  41. SpMonkey:

    вообще то, если выкладывать яблоки в прямоугольник как написано выше, гораздо понятнее для детей чем кучки. Есть столбцы и есть строчки, ничего никуда перекладывать не нужно, всё станет ясно и понятно.
    Пожалуй даже имеет смысл это объяснить, даже если никто и не спросит «из въедливых», постесняются спросить и примут за истину, а суть не поймут.

  42. Rafol:

    Любой первоклассник должен удовлетвориться объяснением с прямоугольниками. А если найдется умник, который начнет трахать мозг с корректностью определений и однозначностью представления кучек прямоугольниками, то пусть он, сука, переписывает аксиомы Пеано на 3 страницы и ровно по клеточкам.

  43. RENew:

    мамой клянус!

  44. Waina:

    по–моему, вариант с яблоками/пальцами/помидорами/одноклассни ками/булочками/котлетами/кошками/ручками /вилками/стульями/партами/etc. идеально подходит. Детишек ведь учат натуральному счету, который и появился, простите, для считания яблок/пальцев/…/etc.
    а если спросят почему, предложи эмпирическое доказательство: раз 10 поскладывают в разных вариация — поверят,)

  45. TcMoon:

    множество натуральных чисел не является ни полем, ни даже кольцом. не надо обманывать первоклассников!

  46. Rumj:

    если писать столбиками, то выйдут те же «яблочные прямоугольники»: 4*3=4+4+4=
    (1+1+1+1)+
    (1+1+1+1)+
    (1+1+1+1)=
    тут мы обводим мелом первые единички =3+
    тут мы обводим мелом вторые единички 3+ и тд…
    =3+3+3+3=3*4

  47. AlBig:

    Если первоклашки не поверят коммутотивности такого умножения, то сделают очень правильно.
    Точечки в определениях типа «a*b = a+a+…+a b раз» значат, что в формально записанном определении должно фигурировать рекуррентное соотношение.

    Прдставим, что у нас есть натуральные числа, и мы умеем их складывать, а умножать — нет, т.е. не знаем, что такое 2*5, 4* и т.д. и не можем так писать.

    Указанное определение, записанное формально, равносльно заданию ф–ии «умножения» f из N * N в N следующим образом:

    f(a, 0) := 0
    f(a, n+1) := a + f(a,n)

    А теперь предложите внятное математическое обоснование того, с какой стати должно выполняться f(*,y) = f(y,*).

  48. BoBotanik:

    Можно просто сослаться на то, что R — абелева группа по умножению._.

  49. Elova:

    не забыв уточнить, что конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.

Добавить комментарий