Давно занимает один вопрос, как раз для кафедры математики.
Со школы всем известны понятия целых, рациональных, действительных, иррациональных и трансцендентных чисел, счетных и несчетных множеств.
Трансцендентные числа, например, интересны тем, что их нельзя выразить никаким алгебраическим выражением. Но зато некоторые из них очень просто выразить словами, например «отношение длины окружности к ее диаметру».
Теперь небольшая цепочка рассуждений.
1) Рассмотрим S — множество осмысленных высказываний на русском языке. Для упрощения добавим математические символы и латинский алфавит. Для строгости зафиксируем словарь, правила грамматики, однозначную семантику и математическую аксиоматику. Очевидно, что S счетно.
2) Из S выберем те высказывания, которые можно вычислить как действительные числа. Типа «Предел последовательности (1+1/n)^n при целом n стремящемся к бесконечности». Назовем это множесто CS. Очевидно, CS тоже счетно.
3) Из (2), кажется, следует существование таких действительных чисел, значение которых никаким образом нельзя выразить — ни прямо, ни косвенно. Что поначалу немного шокирует.

А теперь вопросы — так ли это? Если да, то как такие числа называются? Каковы их свойства? Что почитать об этом?

GD Star Rating
loading...

31 Responses to Трансцендентные числа

  1. Mvxr:

    Мощность множества действительных чисел — С, а мощность можества конечных слов (=высказываний) любого языка — алеф ноль, все так.
    Интересно, занимается ли кто–нибудь специально «неописуемыми» числами?

  2. Yirbmab:

    все смыслы выражаются в словах? если нет, получается, что нельзя отобразить множество комбинаций слов языка в множество смысловых нагрузок. нет?

  3. Nioff:

    Конечно, не «все смыслы выражаются в словах». Но слова, кажется, единственный носитель объективного, глобального и неизменного смысла, если можно так выразиться. Остальные смыслы либо субъективны, либо локальны, либо сиюминутны. Лучшая попытка выразить значение числа без использования слов, которую я знаю — эталоны мер и весов, но и они, как пишут, неидеальны. Иначе говоря, кажется, что значение чисел имеет смысл выражать только словами (или формулами, что одно и то же).

  4. Yirbmab:

    ок, тогда возьмем отрезок (0;1) в действительных числах. Каждое число из него можно описать словами, не так ли? получается, что и он счётный

  5. Re77:

    отрезок действительных чисел не счетный. Его мощность — континуум.

  6. Yirbmab:

    так и я про что. внимательней прочитай

  7. Reun:

    а разве в посте утверждалось, что все действительные числа можно описать словами? я такого не видел.
    насколько я понял, автор утверждал о выражении в словах действительных чисел, которые нельзя выразить каким–либо другим способом.

  8. Reun:

    Вообще да, интересные рассуждения. Хотя, я сомневаюсь, что кто–либо изучает просто все подряд числа, которые можно описать словами, но нельзя описать как–либо еще, если такие числа не имеют практической пользы. Сначала должна появиться потребность в их поиске, а сам поиск начнется уже после этого.

  9. Yirbmab:

    а разве нельзя? я просто взял аналогию, как мне кажется. я мог быть неправ. но не вижу, где

  10. Reun:

    ну, вообще говоря, нельзя, ведь поскольку алфавит у нас конечный, то континуального множества мы из него никак не получим.

  11. Yirbmab:

    ну а числа, разве нельзя алфавитом выразить? скажем, ноль целых–два–пять–три… по идее, любую десятичную (даже бесконечную дробь) можно написать. бесконечным чилом букв. и описание будет счётным

  12. Reun:

    хм, в самом деле, тупанул, извиняюсь)))
    значит, в таком случае, всё возможно, если допустить существование смысла во фразе из бесконечного числа слов… но тогда какое применение имеет фраза, которую, в силу бесконечности, нельзя ни высказать, ни записать любым из известных способов записи информации на любые носители? 😉

  13. Yirbmab:

    это уже другой вопрос. мы же тут математическую сторону обсуждаем 😉

  14. Reun:

    ну, если смотреть чисто теоретически (чем, как правило, злоупотребляют математики), то да, всё верно))

  15. Yirbmab:

    ну вот. такой вот парадокс–тупняк. я просто уверен, что я что–то упустил

  16. Ko4aymoh:

    Как ни странно, множество этих чисел являет собой подмножество трансцедентных чисел.
    Предположим, что это не так, и среди таких чисел существуют числа, не являющиеся транцедентными. Тогда, по определению, такие числа — алгебраические. Пусть T — множество чисел, описываемых утверждением 3, и TA — подмножество всех алгебраических чисел множества T. Возьмём произвольное число t из множества TA. Тогда число t можно представить в виде корня уравнения
    F(*)=A0+A1*+A2*^2…+AnX^n=0 (1)
    Из замкнутости поля алгебраических чисел следует, что существует по крайней мере один набор алгебраических чисел (A0,A1,..,An), при котором F(t)=0. Следовательно, каждое из чисел (A0,A1,..,An) можно описать, как число, являющееся корнем алгебраического уравнения.
    Таким образом, любое число t из множества TA можно описать, как это сказано в пункте 2. Следовательно, число t не принадлежит к множеству T. Полученное противоречие доказывает, что число t — трансцедентное.
    Можно было бы называть такие числа трансцедентальными.

  17. SMDummy:

    Ну есть смешная задачка, вроде, доказано что почти все(в смысле мощности) числа
    из R обладают некоторым свойством. Найти хотя бы одно такое число. Если кто вспомнит–напишите.

  18. LeCrazy:

    Множество таких чисел можно обозначить математическим термином «числа, которые нахрен никому не нужны».

  19. Peels:

    Если да, то как такие числа называются? Каковы их свойства? Что почитать об этом?

    Я думаю что лучший ответ на твой вопрос вот такой.

    Иначе в определении есть слишком много неясности. А именно, что такое описать число? Что делать с неконструктивными описаниями, когда вроде как что–то описано, и даже какие–то свойства известны (например, «между 0 и 1», но какое это число конкретно — непонятно. Та же Омега от Чайтина, например.

    Иначе отсюда, легко последуют всяческие левые парадоксы типа того, возможно ли доказать что не существует максимального элемента множества «чисел, которые никому нахрен не нужны» исходя из того, что «если бы он был, у него было бы описание»? Или нет, потому что описание «максимальный элемент множества никому нахрен не нужных чисел» слишком неконструктивно чтобы засчитывать его как описание?

  20. Peels:

    … и тут Википедия учит нас что на самом деле таки есть вот: //en.wikipedia.org/wiki/Definable_n…

    Плюс там же правильная ссылочка вот сюда.

  21. LeCrazy:

    ну, максимального элемента не существует по–любому.
    Если * никому нахрен не нужен, то *+1 тоже никому нахрен не нужен, т.к. иначе * можно было бы описать как «на 1 меньше, чем *+1».

  22. Peels:

    Кстати неплохое наблюдение — из нахрен ненужных чисел невозможно алгоритмически сконструировать ни одно нужное число. Они и правда нахрен не нужны.

  23. Peels:

    Но в то же время — подумать только — целый мир никому нахрен не нужных чисел, замкнутый относительно всех операций, превосходящий по масштабам мир нужных чисел, живет себе в тишине и гармонии недостижимого идеала, и никогда не будет замаран грязными мыслями, словами и руками людей… Романтика!

  24. SMDummy:

    не, из таких чисел можно сконструировать почти любое число.

  25. Peels:

    «Почти любое» только разве что в том смысле, что их континуум чисел. При этом ни одно «нужное» число А из нахрен ненужного Х сконструировать нельзя. Иначе бы оказалось что Х само по себе «нужное», ведь его можно определить как «то, из чего конструируется А».

  26. Vo6:

    нельзя определить. Так как A — нахрен не нужное, то его нельзя записать. И «то, из чего конструируется A» тоже нельзя написать. Это как дао. Которое если дао, то уже не дао.

  27. Peels:

    Нене, я к тому, что если А было бы нужное, то Х не могло бы быть нахрен не нужным. Отсюда легко следует что множество нахрен ненужных чисел замкнуто относительно всех алгоритмических операций.

  28. SMDummy:

    Ну вот возьмём ненужное вещественное число н. н–н=0, н/н=1.
    А всякими операциями можно из 1 и 0 очень много получить.
    Это вообще философский вопрос–что такое алгоритмические преобразования для неописуемых чисел. Ведь там уже нужна какая–то запись, в виде строчки символов.
    В таких числах забавно то, что они существуют лишь в совокупности.
    Тут можно понять, почему не всем математикам пришлась по душе аксиома выбора.

  29. SMDummy:

    Ну вот возьмём ненужное вещественное число н. н–н=0, н/н=1.
    А всякими операциями можно из 1 и 0 очень много получить.
    Это вообще философский вопрос–что такое алгоритмические преобразования для неописуемых чисел. Ведь там уже нужна какая–то запись, в виде строчки символов.
    В таких числах забавно то, что они существуют лишь в совокупности.
    Тут можно понять, почему не всем математикам пришлась по душе аксиома выбора.

  30. Peels:

    От черт, точно, беда, и правда можно получить 0 и 1.

    что такое алгоритмические преобразования для неописуемых чисел

    Ну тут можно по–разному описать. Например — алгоритм, который, имея доступ к оракулу(ам), выдающему произвольные цифры из десятичного разложения и, возможно, умеющему отвечать еще на какие–либо вопросы касательно свойств входного(ых) числа(сел), сам способен выполнять роль такого оракула касательно результирующего числа. Хотя конечно каждому комплекту «наблюдаемых свойств» будет соответствовать отдельная группа возможных операций над ними.

  31. SMDummy:

    Да, спасибо, я что–то не подумал про оракула.
    Можно факты всякие попридумывать про них. Например, их множество одновременно всюдуплотно и везденеплотно в R.

Добавить комментарий