Суммирование ряда должно быть. Возьмём один треугольник. У него два потомка, справа и слева. треугольники все равносторонние. Ширина стороны в три раза меньше предка, площадь меньше в 9 раз.
продолжу начатое RaBig. Путь площадь первого, исходного треугольника равна S. Продвинемся на один шаг (сделаем одно отображение). Получится шестиугольная звезда Давида. Если разбить исходный треугольник на 9 маленьких равносторонних треугольничков, то получится, что добавилось три из них. То есть площадь увеличилась на 3*(S/9). В результате площадь звезды Давида равна S+3*(S/9)=S(1+3/9). Запомним, что было 3 грани у треугольника. К каждой грани мы добавили по треугольному выросту и вместо одной грани стало 4. Соответственно, в целом у фигуры теперь 3*4=12 граней. Окей. Площадь каждого из маленьких треугольничков, которые мы добавляем на следующем шаге будет равна 1/9 от треугольничка на предыдущем шаге. То есть (S/9)/9. К каждой из 12 граней надо добавить по вот такому маленькому треугольнику. То есть площадь фигуры увеличится на 12*((S/9)/9). А количество граней станет равно 12 (на предыдущем шаге)*4=48. Запишем выражение для полной площади (на этом моменте я матерясь полез искать Latex–>gif конвертор):
Вполне плоская фигура, в третье измерение не лезет. Но ты прав что формально она скорее всего неизмерима (точнее, не измерима обычной мерой «площади», инвариантной относительно сдвигов и проч.). Поэтому полученный выше ответ следует рассматривать или как верхнюю оценку (т.е. грубо говоря вся снежинка помещается в некое измеримое множество площадью 8/5 S), либо как «меру площади» снежинки, но такую, к которой нельзя применять обычные свойства двумерной площади (т.е. нельзя начать рассуждать что, мол, раз вся снежинка имеет такую площадь, то ее можно разобрать на меньшие снежинки и посчитать площадь всей как сумму площадей частей).
Хотя не, зря ты вообще панику разводишь нормальная измеримая фигура, с площадью 8/5 S, выражаемая как предел последовательности вложенных многоугольников.
Это ясно. Другое дело, что ваше исходное замечание («Нецелая размерность вполне «мешала» бы иметь площадь»), вроде как, утверждает другое, а именно: «Если подмножество Rd имеет нецелую хаусдорфову размерность, то оно не измеримо». Это не так, более того, очевидно следующее утверждение. Если подмножество Rd имеет нецелую хаусдорфову размерность, то оно измеримо и имеет меру 0 в смысле dмерной лебеговой меры.
Нет. Болееменее очевидно как раз только лишь утверждение о том, что любое множество S с нецелой размерностью либо неизмеримо, либо имеет меру 0 (ибо его мера P(S), если она определена, должна удовлетворять kd P(S) = ke P(S) для ненулевого k).
А почему очевидно что первый вариант невозможен это вы сейчас нам расскажете.
Расскажу. Пусть S подмножество Rd, тогда dim(S) <=d, где dim Хаусдорфова размерность. Если dim(S) не целое, то dim(S) < d и значит S можно покрыть не более чем счетным семейством dмерных шаров, таким, что, сумма dмерных объемов шаров этого семейства меньше любого на перед заданного положительного числа. Значит внешняя мера Лебега S равна 0, отсюда следует, что S измеримо и имеет нулевую меру (мера Лебега полна).
Суммирование ряда должно быть. Возьмём один треугольник.
У него два потомка, справа и слева. треугольники все равносторонние.
Ширина стороны в три раза меньше предка, площадь меньше в 9 раз.
продолжу начатое RaBig.
Путь площадь первого, исходного треугольника равна S. Продвинемся на один шаг (сделаем одно отображение). Получится шестиугольная звезда Давида. Если разбить исходный треугольник на 9 маленьких равносторонних треугольничков, то получится, что добавилось три из них. То есть площадь увеличилась на 3*(S/9). В результате площадь звезды Давида равна S+3*(S/9)=S(1+3/9).
Запомним, что было 3 грани у треугольника. К каждой грани мы добавили по треугольному выросту и вместо одной грани стало 4. Соответственно, в целом у фигуры теперь 3*4=12 граней.
Окей.
Площадь каждого из маленьких треугольничков, которые мы добавляем на следующем шаге будет равна 1/9 от треугольничка на предыдущем шаге. То есть (S/9)/9. К каждой из 12 граней надо добавить по вот такому маленькому треугольнику. То есть площадь фигуры увеличится на 12*((S/9)/9). А количество граней станет равно 12 (на предыдущем шаге)*4=48.
Запишем выражение для полной площади (на этом моменте я матерясь полез искать Latex–>gif конвертор):
или
Повторяя рассуждения, как не сложно видеть © Ландау и Лифшиц на следующем шаге площадь будет равна:
Откуда самые вдумчивые сразу догадаются, как будет выглядеть общая формула:
А это простая геометрическая прогрессия, известная каждому со школьных времен.
Посчитать ее не составит труда:
То есть площадь снежинки Коха равна 8/5 от площади исходного треугольника.
длина палочки Коха на ширину палочки Коха.
А площадь палочки Коха??? (Знаю, что херню сморозил, но интересно ведь.)
Если бы всё было так просто. Она ж округлый прямоугольник с щетинками.
физики бы щетинками пренебрегли
соотношение 5 и 8 чтото болезненно напоминает
Это как площадь Ленина?
вы уверены, что можно ввести понятие площади для в общемто неплоской фигуры? размерность фрактала будет гдето между двумя и тремя, я напоминаю.
Вполне плоская фигура, в третье измерение не лезет. Но ты прав что формально она скорее всего неизмерима (точнее, не измерима обычной мерой «площади», инвариантной относительно сдвигов и проч.). Поэтому полученный выше ответ следует рассматривать или как верхнюю оценку (т.е. грубо говоря вся снежинка помещается в некое измеримое множество площадью 8/5 S), либо как «меру площади» снежинки, но такую, к которой нельзя применять обычные свойства двумерной площади (т.е. нельзя начать рассуждать что, мол, раз вся снежинка имеет такую площадь, то ее можно разобрать на меньшие снежинки и посчитать площадь всей как сумму площадей частей).
Хотя не, зря ты вообще панику разводишь нормальная измеримая фигура, с площадью 8/5 S, выражаемая как предел последовательности вложенных многоугольников.
Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности ©
правда видимо это не мешает ему иметь площадь.
anyway, я просто предположил
По этому определению снежинка Коха не фрактал.
Нецелая размерность вполне «мешала» бы иметь площадь (в том смысле в каком я уже описал).
Хаусдорфова размерность обычного Канторова множества нецелая (она равна log32). Вместе с тем, Канторово множество измеримо (имеет меру 0).
Ну да, но как только мера множества больше нуля такой трюк не пройдет.
Это ясно. Другое дело, что ваше исходное замечание («Нецелая размерность вполне «мешала» бы иметь площадь»), вроде как, утверждает другое, а именно: «Если подмножество Rd имеет нецелую хаусдорфову размерность, то оно не измеримо». Это не так, более того, очевидно следующее утверждение. Если подмножество Rd имеет нецелую хаусдорфову размерность, то оно измеримо и имеет меру 0 в смысле dмерной лебеговой меры.
Нет. Болееменее очевидно как раз только лишь утверждение о том, что любое множество S с нецелой размерностью либо неизмеримо, либо имеет меру 0 (ибо его мера P(S), если она определена, должна удовлетворять kd P(S) = ke P(S) для ненулевого k).
А почему очевидно что первый вариант невозможен это вы сейчас нам расскажете.
Расскажу. Пусть S подмножество Rd, тогда dim(S) <=d, где dim Хаусдорфова размерность. Если dim(S) не целое, то dim(S) < d и значит S можно покрыть не более чем счетным семейством dмерных шаров, таким, что, сумма dмерных объемов шаров этого семейства меньше любого на перед заданного положительного числа. Значит внешняя мера Лебега S равна 0, отсюда следует, что S измеримо и имеет нулевую меру (мера Лебега полна).
фрактал это кривая Коха, а не множество, которое она ограничивает.
Понял, спасибо. Это получается что все «классические» фракталы обязаны иметь меру ноль. Грустно даже както