Можно ли вычислить площадь снежинки Коха?
Вычислим? 🙂
GD Star Rating
loading...
loading...
20 Responses to Можно ли вычислить площадь снежинки Коха?
Добавить комментарий Отменить ответ
Обсуждения в блоге
- ДОБРО ПОЖАЛОВАТЬ В НАУКУ!
- блогерс, кто может дать радиометр погонять на денёк?
- про IR лазеры теперь, чтоб те долго жили.
- Не уверен, что чисто алгебраические задачи будут тут уместны, но всё же.
- Швейцарские и грузинские археологи обнаружили в ходе раскопок человеческий череп, который доказывает, что уже 1,8 миллиона лет назад все люди, живущие на земле, принадлежали к одному и тому же виду приматов —
- Суббота.
- Господа, у меня своеобразный вопрос.
- Пару недель назад мы с каналом «Наука 2.
- Друзья, объясните мне пожалуйста, чем отличается альфа частица 3.
- Байты и биты.
Суммирование ряда должно быть. Возьмём один треугольник.
У него два потомка, справа и слева. треугольники все равносторонние.
Ширина стороны в три раза меньше предка, площадь меньше в 9 раз.
продолжу начатое RaBig.
Путь площадь первого, исходного треугольника равна S. Продвинемся на один шаг (сделаем одно отображение). Получится шестиугольная звезда Давида. Если разбить исходный треугольник на 9 маленьких равносторонних треугольничков, то получится, что добавилось три из них. То есть площадь увеличилась на 3*(S/9). В результате площадь звезды Давида равна S+3*(S/9)=S(1+3/9).
Запомним, что было 3 грани у треугольника. К каждой грани мы добавили по треугольному выросту и вместо одной грани стало 4. Соответственно, в целом у фигуры теперь 3*4=12 граней.
Окей.
Площадь каждого из маленьких треугольничков, которые мы добавляем на следующем шаге будет равна 1/9 от треугольничка на предыдущем шаге. То есть (S/9)/9. К каждой из 12 граней надо добавить по вот такому маленькому треугольнику. То есть площадь фигуры увеличится на 12*((S/9)/9). А количество граней станет равно 12 (на предыдущем шаге)*4=48.
Запишем выражение для полной площади (на этом моменте я матерясь полез искать Latex–>gif конвертор):
или
Повторяя рассуждения, как не сложно видеть © Ландау и Лифшиц на следующем шаге площадь будет равна:
Откуда самые вдумчивые сразу догадаются, как будет выглядеть общая формула:
А это простая геометрическая прогрессия, известная каждому со школьных времен.
Посчитать ее не составит труда:
То есть площадь снежинки Коха равна 8/5 от площади исходного треугольника.
длина палочки Коха на ширину палочки Коха.
А площадь палочки Коха??? (Знаю, что херню сморозил, но интересно ведь.)
Если бы всё было так просто. Она ж округлый прямоугольник с щетинками.
физики бы щетинками пренебрегли
соотношение 5 и 8 что–то болезненно напоминает…
Это как площадь Ленина?
вы уверены, что можно ввести понятие площади для в общем–то неплоской фигуры? размерность фрактала будет где–то между двумя и тремя, я напоминаю.
Вполне плоская фигура, в третье измерение не лезет. Но ты прав что формально она скорее всего неизмерима (точнее, не измерима обычной мерой «площади», инвариантной относительно сдвигов и проч.). Поэтому полученный выше ответ следует рассматривать или как верхнюю оценку (т.е. грубо говоря вся снежинка помещается в некое измеримое множество площадью 8/5 S), либо как «меру площади» снежинки, но такую, к которой нельзя применять обычные свойства двумерной площади (т.е. нельзя начать рассуждать что, мол, раз вся снежинка имеет такую площадь, то ее можно разобрать на меньшие снежинки и посчитать площадь всей как сумму площадей частей).
Хотя не, зря ты вообще панику разводишь — нормальная измеримая фигура, с площадью 8/5 S, выражаемая как предел последовательности вложенных многоугольников.
Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности ©
правда видимо это не мешает ему иметь площадь.
anyway, я просто предположил
По этому определению снежинка Коха — не фрактал.
Нецелая размерность вполне «мешала» бы иметь площадь (в том смысле в каком я уже описал).
Хаусдорфова размерность обычного Канторова множества нецелая (она равна log32). Вместе с тем, Канторово множество измеримо (имеет меру 0).
Ну да, но как только мера множества больше нуля такой трюк не пройдет.
Это ясно. Другое дело, что ваше исходное замечание («Нецелая размерность вполне «мешала» бы иметь площадь»), вроде как, утверждает другое, а именно: «Если подмножество Rd имеет нецелую хаусдорфову размерность, то оно не измеримо». Это не так, более того, очевидно следующее утверждение. Если подмножество Rd имеет нецелую хаусдорфову размерность, то оно измеримо и имеет меру 0 в смысле d–мерной лебеговой меры.
Нет. Более–менее очевидно как раз только лишь утверждение о том, что любое множество S с нецелой размерностью либо неизмеримо, либо имеет меру 0 (ибо его мера P(S), если она определена, должна удовлетворять kd P(S) = ke P(S) для ненулевого k).
А почему очевидно что первый вариант невозможен — это вы сейчас нам расскажете.
Расскажу. Пусть S — подмножество Rd, тогда dim(S) <=d, где dim — Хаусдорфова размерность. Если dim(S) не целое, то dim(S) < d и значит S можно покрыть не более чем счетным семейством d–мерных шаров, таким, что, сумма d–мерных объемов шаров этого семейства меньше любого на перед заданного положительного числа. Значит внешняя мера Лебега S равна 0, отсюда следует, что S измеримо и имеет нулевую меру (мера Лебега полна).
фрактал — это кривая Коха, а не множество, которое она ограничивает.
Понял, спасибо. Это получается что все «классические» фракталы обязаны иметь меру ноль. Грустно даже как–то…