Можно ли вычислить площадь снежинки Коха?

20 Responses to Можно ли вычислить площадь снежинки Коха?

1. RaBig:

   29/05/2009 в 07:55

   Суммирование ряда должно быть. Возьмём один треугольник.
   У него два потомка, справа и слева. треугольники все равносторонние.
   Ширина стороны в три раза меньше предка, площадь меньше в 9 раз.

   Ответить
2. Axyptak:

   29/05/2009 в 12:29

   продолжу начатое RaBig.
   Путь площадь первого, исходного треугольника равна S. Продвинемся на один шаг (сделаем одно отображение). Получится шестиугольная звезда Давида. Если разбить исходный треугольник на 9 маленьких равносторонних треугольничков, то получится, что добавилось три из них. То есть площадь увеличилась на 3*(S/9). В результате площадь звезды Давида равна S+3*(S/9)=S(1+3/9).
   Запомним, что было 3 грани у треугольника. К каждой грани мы добавили по треугольному выросту и вместо одной грани стало 4. Соответственно, в целом у фигуры теперь 3*4=12 граней.
   Окей.
   Площадь каждого из маленьких треугольничков, которые мы добавляем на следующем шаге будет равна 1/9 от треугольничка на предыдущем шаге. То есть (S/9)/9. К каждой из 12 граней надо добавить по вот такому маленькому треугольнику. То есть площадь фигуры увеличится на 12*((S/9)/9). А количество граней станет равно 12 (на предыдущем шаге)*4=48.
   Запишем выражение для полной площади (на этом моменте я матерясь полез искать Latex–>gif конвертор):

   

   или

   

   Повторяя рассуждения, как не сложно видеть © Ландау и Лифшиц на следующем шаге площадь будет равна:

   

   Откуда самые вдумчивые сразу догадаются, как будет выглядеть общая формула:

   

   А это простая геометрическая прогрессия, известная каждому со школьных времен.
   Посчитать ее не составит труда:

   

   То есть площадь снежинки Коха равна 8/5 от площади исходного треугольника.

   Ответить
3. Axyptak:

   29/05/2009 в 14:59

   длина палочки Коха на ширину палочки Коха.

   Ответить
4. ReMonkey:

   29/05/2009 в 14:59

   А площадь палочки Коха??? (Знаю, что херню сморозил, но интересно ведь.)

   Ответить
5. ReMonkey:

   29/05/2009 в 15:01

   Если бы всё было так просто. Она ж округлый прямоугольник с щетинками.

   Ответить
6. Yirbmab:

   29/05/2009 в 17:16

   физики бы щетинками пренебрегли

   Ответить
7. илDummy:

   03/11/2009 в 20:24

   соотношение 5 и 8 что–то болезненно напоминает…

   Ответить
8. SdSuper:

   24/11/2009 в 21:41

   Это как площадь Ленина?

   Ответить
9. ReMafia:

   29/11/2009 в 18:34

   вы уверены, что можно ввести понятие площади для в общем–то неплоской фигуры? размерность фрактала будет где–то между двумя и тремя, я напоминаю.

   Ответить
10. Peels:

    29/11/2009 в 21:02

    Вполне плоская фигура, в третье измерение не лезет. Но ты прав что формально она скорее всего неизмерима (точнее, не измерима обычной мерой «площади», инвариантной относительно сдвигов и проч.). Поэтому полученный выше ответ следует рассматривать или как верхнюю оценку (т.е. грубо говоря вся снежинка помещается в некое измеримое множество площадью 8/5 S), либо как «меру площади» снежинки, но такую, к которой нельзя применять обычные свойства двумерной площади (т.е. нельзя начать рассуждать что, мол, раз вся снежинка имеет такую площадь, то ее можно разобрать на меньшие снежинки и посчитать площадь всей как сумму площадей частей).

    Ответить
11. Peels:

    29/11/2009 в 21:21

    Хотя не, зря ты вообще панику разводишь — нормальная измеримая фигура, с площадью 8/5 S, выражаемая как предел последовательности вложенных многоугольников.

    Ответить
12. ReMafia:

    29/11/2009 в 23:29

    Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности ©
    правда видимо это не мешает ему иметь площадь.
    anyway, я просто предположил

    Ответить
13. Peels:

    29/11/2009 в 23:33

    По этому определению снежинка Коха — не фрактал.
    Нецелая размерность вполне «мешала» бы иметь площадь (в том смысле в каком я уже описал).

    Ответить
14. Rafol:

    30/11/2009 в 01:21

    Хаусдорфова размерность обычного Канторова множества нецелая (она равна log₃2). Вместе с тем, Канторово множество измеримо (имеет меру 0).

    Ответить
15. Peels:

    30/11/2009 в 01:38

    Ну да, но как только мера множества больше нуля такой трюк не пройдет.

    Ответить
16. Rafol:

    01/12/2009 в 02:24

    Это ясно. Другое дело, что ваше исходное замечание («Нецелая размерность вполне «мешала» бы иметь площадь»), вроде как, утверждает другое, а именно: «Если подмножество R^d имеет нецелую хаусдорфову размерность, то оно не измеримо». Это не так, более того, очевидно следующее утверждение. Если подмножество R^d имеет нецелую хаусдорфову размерность, то оно измеримо и имеет меру 0 в смысле d–мерной лебеговой меры.

    Ответить
17. Peels:

    01/12/2009 в 02:44

    Нет. Более–менее очевидно как раз только лишь утверждение о том, что любое множество S с нецелой размерностью либо неизмеримо, либо имеет меру 0 (ибо его мера P(S), если она определена, должна удовлетворять k^d P(S) = k^e P(S) для ненулевого k).

    А почему очевидно что первый вариант невозможен — это вы сейчас нам расскажете.

    Ответить
18. Rafol:

    01/12/2009 в 22:55

    Расскажу. Пусть S — подмножество R^d, тогда dim(S) <=d, где dim — Хаусдорфова размерность. Если dim(S) не целое, то dim(S) < d и значит S можно покрыть не более чем счетным семейством d–мерных шаров, таким, что, сумма d–мерных объемов шаров этого семейства меньше любого на перед заданного положительного числа. Значит внешняя мера Лебега S равна 0, отсюда следует, что S измеримо и имеет нулевую меру (мера Лебега полна).

    Ответить
19. Axyptak:

    02/12/2009 в 06:02

    фрактал — это кривая Коха, а не множество, которое она ограничивает.

    Ответить
20. Peels:

    02/12/2009 в 12:05

    Понял, спасибо. Это получается что все «классические» фракталы обязаны иметь меру ноль. Грустно даже как–то…

    Ответить