Можно ли вычислить площадь снежинки Коха?
Вычислим? 🙂

image

GD Star Rating
loading...

20 Responses to Можно ли вычислить площадь снежинки Коха?

  1. RaBig:

    Суммирование ряда должно быть. Возьмём один треугольник.
    У него два потомка, справа и слева. треугольники все равносторонние.
    Ширина стороны в три раза меньше предка, площадь меньше в 9 раз.

  2. Axyptak:

    продолжу начатое RaBig.
    Путь площадь первого, исходного треугольника равна S. Продвинемся на один шаг (сделаем одно отображение). Получится шестиугольная звезда Давида. Если разбить исходный треугольник на 9 маленьких равносторонних треугольничков, то получится, что добавилось три из них. То есть площадь увеличилась на 3*(S/9). В результате площадь звезды Давида равна S+3*(S/9)=S(1+3/9).
    Запомним, что было 3 грани у треугольника. К каждой грани мы добавили по треугольному выросту и вместо одной грани стало 4. Соответственно, в целом у фигуры теперь 3*4=12 граней.
    Окей.
    Площадь каждого из маленьких треугольничков, которые мы добавляем на следующем шаге будет равна 1/9 от треугольничка на предыдущем шаге. То есть (S/9)/9. К каждой из 12 граней надо добавить по вот такому маленькому треугольнику. То есть площадь фигуры увеличится на 12*((S/9)/9). А количество граней станет равно 12 (на предыдущем шаге)*4=48.
    Запишем выражение для полной площади (на этом моменте я матерясь полез искать Latex–>gif конвертор):

    f-la 1

    или

    f-la 2

    Повторяя рассуждения, как не сложно видеть © Ландау и Лифшиц на следующем шаге площадь будет равна:

    f-la 3

    Откуда самые вдумчивые сразу догадаются, как будет выглядеть общая формула:

    f-la 4

    А это простая геометрическая прогрессия, известная каждому со школьных времен.
    Посчитать ее не составит труда:

    f-la 5

    То есть площадь снежинки Коха равна 8/5 от площади исходного треугольника.

  3. Axyptak:

    длина палочки Коха на ширину палочки Коха.

  4. ReMonkey:

    А площадь палочки Коха??? (Знаю, что херню сморозил, но интересно ведь.)

  5. ReMonkey:

    Если бы всё было так просто. Она ж округлый прямоугольник с щетинками.

  6. Yirbmab:

    физики бы щетинками пренебрегли

  7. илDummy:

    соотношение 5 и 8 что–то болезненно напоминает…

  8. SdSuper:

    Это как площадь Ленина?

  9. ReMafia:

    вы уверены, что можно ввести понятие площади для в общем–то неплоской фигуры? размерность фрактала будет где–то между двумя и тремя, я напоминаю.

  10. Peels:

    Вполне плоская фигура, в третье измерение не лезет. Но ты прав что формально она скорее всего неизмерима (точнее, не измерима обычной мерой «площади», инвариантной относительно сдвигов и проч.). Поэтому полученный выше ответ следует рассматривать или как верхнюю оценку (т.е. грубо говоря вся снежинка помещается в некое измеримое множество площадью 8/5 S), либо как «меру площади» снежинки, но такую, к которой нельзя применять обычные свойства двумерной площади (т.е. нельзя начать рассуждать что, мол, раз вся снежинка имеет такую площадь, то ее можно разобрать на меньшие снежинки и посчитать площадь всей как сумму площадей частей).

  11. Peels:

    Хотя не, зря ты вообще панику разводишь — нормальная измеримая фигура, с площадью 8/5 S, выражаемая как предел последовательности вложенных многоугольников.

  12. ReMafia:

    Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности ©
    правда видимо это не мешает ему иметь площадь.
    anyway, я просто предположил

  13. Peels:

    По этому определению снежинка Коха — не фрактал.
    Нецелая размерность вполне «мешала» бы иметь площадь (в том смысле в каком я уже описал).

  14. Rafol:

    Хаусдорфова размерность обычного Канторова множества нецелая (она равна log32). Вместе с тем, Канторово множество измеримо (имеет меру 0).

  15. Peels:

    Ну да, но как только мера множества больше нуля такой трюк не пройдет.

  16. Rafol:

    Это ясно. Другое дело, что ваше исходное замечание («Нецелая размерность вполне «мешала» бы иметь площадь»), вроде как, утверждает другое, а именно: «Если подмножество Rd имеет нецелую хаусдорфову размерность, то оно не измеримо». Это не так, более того, очевидно следующее утверждение. Если подмножество Rd имеет нецелую хаусдорфову размерность, то оно измеримо и имеет меру 0 в смысле d–мерной лебеговой меры.

  17. Peels:

    Нет. Более–менее очевидно как раз только лишь утверждение о том, что любое множество S с нецелой размерностью либо неизмеримо, либо имеет меру 0 (ибо его мера P(S), если она определена, должна удовлетворять kd P(S) = ke P(S) для ненулевого k).

    А почему очевидно что первый вариант невозможен — это вы сейчас нам расскажете.

  18. Rafol:

    Расскажу. Пусть S — подмножество Rd, тогда dim(S) <=d, где dim — Хаусдорфова размерность. Если dim(S) не целое, то dim(S) < d и значит S можно покрыть не более чем счетным семейством d–мерных шаров, таким, что, сумма d–мерных объемов шаров этого семейства меньше любого на перед заданного положительного числа. Значит внешняя мера Лебега S равна 0, отсюда следует, что S измеримо и имеет нулевую меру (мера Лебега полна).

  19. Axyptak:

    фрактал — это кривая Коха, а не множество, которое она ограничивает.

  20. Peels:

    Понял, спасибо. Это получается что все «классические» фракталы обязаны иметь меру ноль. Грустно даже как–то…

Добавить комментарий