А вот простой вечерний вопрос — как без помощи калькулятора узнать, что больше.
e^pi или pi^e?

GD Star Rating
a WordPress rating system
Tagged with →  

10 Responses to Как без помощи калькулятора узнать, что больше?

  1. AmCrazy:

    было уже ) на этой же блоге вроде

  2. 1Moon:

    Вот я невнимательный. А такая была?
    Пусть n — целое, а а1, а2, … аk — натуральные, меньшие n и взаимно простые с n. Если выполняется а2–а1=а3–а2=…=аk–а(k–1)>0, докажите, что n — простое или степень 2.

  3. Zvin:

    Я не понимаю, зачем в таких задачах какие–то сложности — а что, нельзя уже прикинуть и посчитать по примерным значениям?

  4. Peels:

    Ну попробуй, прикинь. Только чур без калькулятора.

  5. 4Doc:

    Начинаю потихонечку прикидывать…
    — для n=1 не могу вспомнить натуральные, который были бы меньше n и, тем более, взаимно просты с ним..
    — для n=2 уже есть одно натуральное а=1 которое меньше n, но врядли бы я его назвал взаимно простым с n, поскольку n делится на а без остатка..

  6. Rafol:

    Да, 1 и 2 взаимнопросты — их наибольший общий делитель равен 1.

    Другое дело, я, похоже, не понимаю условия задачи — возьмем n = 9, k = 2, a1 = 2, a2 = 4. a1, a2, a2 — a1 взаимнопросты с n, но n не просто и не является степенью 2.

  7. 1Moon:

    да, забыл написать, что n строго больше 6.

  8. Rafol:

    Вы, похоже имеете в виду, что a1,…, ak — это все числа в ряду от 1 до n взаимнопростые с n. Если так, то утверждение верно.

    a1 — наименьшее, значит a1=1. Пусть a=a2–a1>0. Тогда as = 1+(s–1)a, s = 1,…, k. ak — наибольшее, и значит ak = n–1. Поэтому n–2)/a+1. Также ясно, что k=ф(n) (ф() — функция Эйлера).

    Пусть n>6 и не является ни простым ни степенью 2. Получим противоречие, тем самым теорема будет доказана. Пусть n=p1^m1…pd^md — разложение n на простые сомножители, p12<…d; ms>0. Тогда ф(n):p1–1)p1^(m1–1)…(pd–1)pd^(md–1).

    Покажем, что если d>2 или если найдется ms>1, то a делится на все pi. Действительно, если a не делится на pi, то a и pi взаимнопросты, и значит найдутся, такие u и v, что 1+au=piv, при этом можно считать, что 0i. Поскольку au+1=piv не взаимно прост с n, то k<=ui. Следовательно ф(n)<=pi–1, что невозможно при взятых условиях.

    Итак a делится на все pi, а значит делится на p1…pd. Следовательно ф(n):n–2)/a+1<=n/a=p1^(m1–1)…pd^(md–1). Что опять невозможно.

    Остается рассмотреть случай n=2p, p — простое большее 3. В этом случае a2=3, и значит a=2. p–2 взаимнопросто с n, значит p–2=ai, для некоторого i, поскольку ai+1 = p, получаем k=i и p–2=ak=n–1=2p–1 — противоречие.

  9. Rafol:

    Парсер все переврал, но, думаю понятно. Главное знать, что, например, n–2)/a+1, это на самом деле k = (n — 2) / a + 1. Наверное, причина в борьбе парсера с унылыми смайликами вроде = (

  10. VoBig:

    Кому скучно может решить похожую задачу что больше sqrt{7}^sqrt{8} или sqrt{8}^sqrt{7}

    на мехмате давали когда то евреям на вступительном экзамене чтобы завалить.
    а остальным давали sqrt{8} и sqrt{9}

Добавить комментарий