Дорогие блогеры, предлагаю подумать над следующей задачей.
Вы подходите к трамвайной остановке и ждете трамвая. Ходят два трамвая, оба из которых вам подходят. Один ходит с интервалом в 16 минут, другой с интервалом в 23 минуты. Вы не знаете когда ушел последний. Можно ли посчитать среднее ожидаемое время ожидания трамвая?
И как.

GD Star Rating
loading...
Tagged with →  

23 Responses to Среднее время ожидания

  1. On2:

    Была похожая задача про мальчика, который ждал два таких трамвая, и если приходил тот, что с интервалом в 16 минут, ехал на работу, а если тот, что с интервалом 23, ехал бухать. Ну, или как–то так. И вопрос был, насколько чаще он ездил на работу, чем бухать.
    Представь себе время как прямую, на которой отложи отрезки длиной 16 единиц и 23 единицы.

  2. Drova:

    первый трамвай ходит с частотой 60/16 = 3,75 трамваев в час
    второй трамвай ходит с частотой 60/23 = 2,6 трамваев в час

    суммарная частота появления любого из них равна сумме: 3,75 + 2,6 = 6,35 трамваев в час. таким образом в среднем интервал движения трамваев составляет 60/6,35 = 9,45 минут. при условии неизвестности момента проезда последнего трамвая пик вероятности приходится на середину интервала, то есть 9,45/2 = 4,72 минуты = 4 минуты 43 секунды. это и есть среднее время ожидания следующего трамвая.

  3. EvBig:

    Это нестрого и не учитывает, что трамваи могут никогда не приходить в одно и то же время.

    Более строгая модель (не говорю, что единственно возможная, но разумная): время до прихода первого трамвая — случайная величина *_1, равномерно распределённая в [0,16], второго — *_2, р.р. в [0,23] и они независимы. Тогда время ожидания трамвая — это min(*_1, *_2), среднее время ожидания — математическое ожидание этой величины, которое равно

    \frac{1}{16\cdot 23}\int_{(*,y) \in [0,16] \times [0,23]} \min(*,y) dx dy

    Это считается руками. У меня получилось (руками) 424/69.

  4. Drova:

    а ответ–то другой.

  5. EvBig:

    Я написал, что эту задачу формализовать можно по–разному. В разных формализациях вполне могут быть (сюрприз!) разные ответы.

  6. Drova:

    при разных допущениях, да.

  7. Ylfeerf:

    а почему минимум?

  8. EvBig:

    Ну, если одного трамвая ждать * минут, а другого — y, то ближайшего ждать min(*,y).

  9. Yl1:

    нет. ответ нервоснерда правильный.

  10. Ylfeerf:

    «пик вероятности приходится на середину интервала». Почему? Пик вероятности приходится на середину интервала при нормальном распределении. Тут, скорее, равномерное.

  11. Drova:

    в данном случае я не совсем правильно выразился — не пик вероятности, а матожидание, конечно же. и у нормального и у равномерного распределения оно приходится на половину интервала движения автобуса. хотя представить себе нормальное распределение моментов движения автобуса я затрудняюсь.

  12. Peels:

    Ответ нервоснерда неправильный, намного лучше размышление у EvBig.

    Возьмем для примера промежутки в 2 и 3. По размышлению нервоснерда это значит, мол, в среднем 5 трамваев за 6 минут, то бишь между трамваями в среднем промежуток в 1.2 минуты, и значит среднее ожидаемое время 0.6 минут.
    По сути это эквивалентно решению задачи с одним трамваем, который ходит равномерно. Приходы такого трамвая за промежуток в 6 минут выглядели бы вот так.
    |–––|–––|–––|–––| — —
    На самом деле у нас два трамвая, и если предположить что каждый трамвай приходит всегда к ровной минуте, один промежуток в 6 минут будет выглядеть вот так:

    AB––––B––A––B — —
    Здесь легко увидеть что в 2/3 случаев промежуток между трамваями 2 минуты, а в 1/3 случаев — минута. Итого ожидание в 2/3 случаев будет минуту, а в 1/3 случаев полминуты. В сумме имеем среднее ожидание 2/3 + 1/6 = 5/6 = 0.833 минуты.

    Если графики трамваев не подогнаны ровно к началу минуты, а, к примеру, второй трамвай приходит когда секундная стрелка показывает 30, то картина будет ближе к той, что дала ответ 0.6, и ответ будет 0.7. Далее, интуиция подсказывает мне, что ниже 0.7 при данной задаче среднее ожидаемое быть не может.

    A–B––––B–A–––B — —
    Итого имеем правильный ответ — от 0.7 до 0.833 в зависимости от соотношения времени прихода трамваев. А подход нервоснерда дает лишь грубую нижнюю оценку 0.6.

  13. Hcna:

    Предположим, что оба трамвая приходят ровно в тот момент, когда секундная стрелка смотрит вверх. Тогда время от времени они будут встречаться на остановке. Между этими встречами будет проходит 16*23 = 368 минут (НОК двух чисел).

    В таком случае, разобьём расставим на этом 368–минутном интервале минутные отсечки, и на каждой из них посчитаем, сколько времени остаётся до ближайшего трамвая:
    001 → 15
    002 → 14
    003 → 13
     …
    016 → 00 (пришёл шестнадцатый трамвай)
    017 → 06
    018 → 05
     …
    023 → 00 (пришёл двадцать третий трамвай)
    024 → 08
    025 → 07
     …
    351 → 01
    352 → 00 (пришёл шестнадцатый трамвай)
    353 → 15
     …
    368 → 00 (пришли оба трамвая)

    Теперь сложим все времена ожидания (2080), и поделим на 368.
    Получим ответ: ожидание длится 5.652 минуты в среднем.

  14. Hcna:

    Да, самое главное — к этому времени нужно добавить ровно полминуты.

    Потому что эти расчёты относятся к самому выгодному случаю, когда пассажир приходит в момент прихода трамвая и на него успевает. Если же он приходит на 59,(9) секунд раньше, то ему ждать трамвая каждый раз на минуту больше, и это самый неудачный вариант. Среднее интегральное между этими случаями — 6.152, что, с точностью до семи тысячных, совпадает с ответом Иррефлексива.

  15. Hcna:

    Я знаю, спасибо Ж8–)

  16. Re7:

    чем больше я занимаюсь различными задачами на расчет вероятности, тем больше склоняюсь к мнению, что моделирование — универсальный, простой и объясняемый способ получения результатов, который может наглядно показать влияние отдельных параметров и гораздо более гибкий при модификации/усложнении задачи. что в области планирования, что в теории вероятностей, задачи обычно идеализированы. смотрите, насколько станет сложнее аналитически решить задачу, если вам стала известна функция распределения вероятности появления трамвая на остановке? если принять, что трамваи передвигаются (а это действительно так) зависимо друг от друга? если существуют другие факторы, влияющие на процесс ожидания (например, пассажир видит трамваи издалека и меняет способ достижения остановки). вы как думаете?

  17. Peels:

    Я не понял что ты хотел сказать в целом, но конкретно в том, что «моделирование» в широком понимании — мать всех наук, готов согласиться.

  18. Re7:

    я к тому, что аналитически только простенькие задачи решаются. иногда (редко–редко) более–менее сложные (я восхищаюсь линейным программированием, например). а моделированием можно получить результаты гораздо относительно простым способом, особенно при наличии современных вычислительных мощностей.

  19. DnMath:

    Мать всех наук — физика, которая и занимается рассмотрением моделей.

  20. Peels:

    Фиг. Математика — вот базовый язык моделирования. Потом, например, аппарат теории вероятностей. И только на этом уже физика как частный случай моделей материального мира.

  21. Peels:

    А, так ты про симулирование что–ли? Это тада другой вопрос.

Добавить комментарий