Такая задача: Многочлен *n+1 раскладывается над Z (кольцо целых чисел) на неприводимые. Верно ли, что для любого n все коэффициенты всех неприводимых многочленов в разложении будут 1, 0 или –1?

Примеры:
*+1 — неприводим над Z.
*2+1 — неприводим над Z.
*3+1 = (1+*)(1–x+*2)
*4+1 — неприводим над Z.
*5+1 = (1+*)(1–x+*2–x3+*4) — второй множитель вроде бы не приводим.

GD Star Rating
loading...
Tagged with →  

5 Responses to Задача про многочлен

  1. EvBig:

    Для нечётного простого p это верно.
    *^p + 1 = (*+1)(1 — * + *^2 — … — *^p).

    P(*) = 1 — * + *^2 — … — *^p неприводим по критерию Эйзенштейна (критерий выполняется для P(*–1) = (*–1)^p)/*).

    Для произвольного что–то пока не придумал.

  2. EvBig:

    Ой, для P(*–1) = ((*–1)^p + 1)/*.

  3. Nodalv:

    Ну, вообще говоря второй множитель в разложении *^5+1 тоже можно разложить над Z.
    См. Основная теорема алгебры.

  4. Nodalv:

    ступил, над R можно, над Z — не факт 🙁

  5. Rafol:

    Неверно. *^105 + 1 делится на круговой многочлен Ф_210(*), а у него есть коэффициент равный 2.

Добавить комментарий