Все точки окружности раскрашены произвольным образом в два цвета. Доказать, что найдётся равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета, вписанный в эту окружность.

GD Star Rating
loading...

28 Responses to Доказательство — треугольник с вершинами одного цвета

  1. OtMath:

    Похоже на задачу про табуретку на неровной поверхности

  2. K_Mafia:

    Ну это просто) Берем правильный пятиугольник, вписанный в эту окружность — очевидно что в нём существуют три вершины одного цвета, так как цветов два а вершин пять (принцип Дирихле), так же очевидно (нетрудно проверить) что любые три вершины правильного пятиугольника являются вершинами именно равнобедренного треугольника. Утверждение доказано.

  3. Nytramcm:

    круто!

  4. K_Mafia:

    ну я б не сказал что это уж очень интересная задачка)

  5. Nytramcm:

    приведи уж тогда пример интересной.

  6. K_Mafia:

    хорошо, сейчас что–нибудь попроще повспоминаю)
    Тоже школьная задачка — пусть матч между командами Спартак — Локомотив закончился со счётом A — B (не важно в чью пользу) доказать что во время матча был момент, когда одна команда уже забила столько голов, сколько второй осталось забить.

  7. NoBig:

    Рассмотрим вот такую визуализацию хода матча. В начале матча счёт был 0,0 и он соотвествует нижнему левому узлу (красный). В конце матча счёт был A,B — соотвествует синему узлу. Когда команда А(или В) забивает гол, мы двигаемся из текущего узла в соседний вправо(вверх). Когда одна команда забила столько голов, сколько второй осталось забить, сумма голов в этот момент времени равна либо A, либо B. Такие узлы образуют две прямые на сетке(зелёные). Понятно, что для любого пути из красного узла в синий (как бы не проходил матч), мы обязательно окажемся (даже как минимум два раза) в зелёном узле.

  8. K_Mafia:

    хорошо, доказательство принимается) тем более даже с картинкой) теперь чуть посложнее, но тоже достаточно известная задачка — на окружности радиуса R случайным образом выбираются две точки, какова вероятность что длина хорды, соединяющей эти точки будет больше чем ну например (R * корень из трёх) / 2.

  9. K_Mafia:

    Даже для простотыкрасоты ответа лучше рассматривать когда длина хорды превышает R * корень из трёх, а не (R * корень из трёх) / 2.
    Сразу скажу — прелесть задачки в том что разные решения дают разные ответы и вопрос в том — почему так происходит.

  10. Re3:

    потому что вероятность зависит от того, как введено вероятностное пространство?

  11. K_Mafia:

    ну то, что зависит — это да, но насколько это утверждение имеет отношение к нашей задаче?
    что именно нужно конкретизировать, чтобы получить единственный ответ?

  12. NoBig:

    У меня получился ответ: вероятность равна 1/3.

  13. Nytramcm:

    аналогично.

  14. K_Mafia:

    я предполагаю ваше решение. Сейчас приведу другое. Правда пока писал его — уже понял в чём ошибка, но всё же. Если рассмотреть серединный перпендикуляр и соответственно середину хорды — вероятность того что её длина будет больше R корней из трёх — это вероятность попадания её центра в отрезок между коричневыми линиями. Нетрудно посчитать что его длина равна R, а длина всего диаметра — 2R, значит вероятность того что центр попадёт в этот отрезок равна 0.5 так как точки выбирались случайно.

    размер 288x255, 8.73 kb

  15. NoBig:

    Тут понятно, в чём проблема. Например, на этой картинке синий и красный отрезки равны по длине, но вероятности попадания проекции центра хорды на них не равны. Распределение этой проекции не может быть равномерным, так как не выдерживает сдвиги. Стало быть, так просто данную вероятность считать нельзя.

  16. K_Mafia:

    Да, я понял что в условии не говорилось какое конкретно распределение имеют точки на окружности. Если задать,что равны вероятности попадания в сколь угодно малые отрезки дуги равной длины и это принять за равномерное распределение, тогда скорее всего верный ответ 1/3. Оказалось что задачка не такая уж и интересная)

  17. K_Mafia:

    Соответственно ещё одна несложная задачка. Известно что в семье два ребенка и что один из мальчик. Какова вероятность того, что вторая девочка?
    Считать что вероятность рождения двойни практически равна нулю, а вероятность рождения мальчика практически равна вероятности рождения девочки.

  18. K_Mafia:

    *один из них

  19. OtMath:

    Что тяжелее, килограмм угля или килограмм ваты?

  20. Teadeaz:

    зависит от того массу ты имеешь ввиду или вес.

  21. K_Mafia:

    и тем не менее вероятность того что второй ребенок девочка — две третьих, если ты про очевидность задачи

  22. Xbiz:

    что такое «раскрашенная точка»? Если математически, то точка не имеет размера. Если же брать пиксель, то это действует только при R больше некоторого числа.

  23. K_Mafia:

    для каждой точки окружности определена некая её характеристика, называемая цветом. То что точка не имеет размера — не означает что она не может быть раскрашена.

  24. Strach:

    если так, то ни как.

    размер 150x147, 2.94 kb

  25. Ydun:

    а вот и нет. две вершины треугольника по краям дуги, третья — в середине.

  26. K_Mafia:

    лично я вижу на этом рисунке бесконечно много равнобедренных треугольников с вершинами как чёрного так и белого цвета. В чём проблема?)

  27. Strach:

    да все ок, я уже понял)

Добавить комментарий