a+b+c=1
a>0 b>0 c>0
a,b,с–действительные
Помогите доказать неравенство,пожалуйста,спасибо.

размер 256x46, 1.99 kb

GD Star Rating
loading...

43 Responses to Помогите доказать неравенство

  1. AiCrazy:

    А,да забыл,Еще условие–элементарными методами.

  2. EuDummy:

    там все три слогаемых больше единицы

  3. EuDummy:

    спорол(

  4. AiCrazy:

    Спорол и спорол.Черт с ним.Идеи давай.

  5. Kcin:

    Может попробовать так: b+c заведомо больше 1/2 (если не так, переобозначим а на b или a на c и получим данное условие). итого, первый корень можно преобразовать и вроде как показать, что он больше (либо равен) единицы.
    Далее, надо рассматривать 2 вторых корня, отталкиваясь от неравенства b+c >1/2, выражая c через b свести все к одной переменной и получить что–то типа, что 2 последних корня больше выражения 1/(sqrt(1–b) * (sqrt(b)+1/2–b). а вот это уже выражение уже ограничить снизу.

  6. Kcin:

    как ограничит –не придумал пока

  7. Kcin:

    (sqrt(b)+1/2–b). — это получилось при условии b<1/2, при при условии b<1/2 — там чуть другое будет.

  8. AiCrazy:

    Чего–то я не понял как ты показал,что он больше 1
    0

  9. Kcin:

    swrt (a/(b+c)) = sqrt(1/(b+c) — 1)
    b+c > 1/2, 1/(b+c) > 2 …во, тут и ошибся… там меньше 2 будет. Прошу прощения. Но, кажется, как–то так и надо думать. Вечером еще гляну, мож чего придумаю.

  10. ReMonkey:

    дробь разделить на дробь — это дробь из числителя помножить на дробь, обратную дроби в знаменателе. Одна из пар точно даёт в сумме дробь, большую 1/2 (а могут и все три)
    на пальцах
    3/5, 1/3, 1/15 — одна переменная больше 1/2
    (3/5)/(1/15+3/5):3/5)/(10/15):3*15)/(5*1 0)=9/10
    извлечём корень из дроби — 3 на квадратный корень из 10, приблизительно 3/3.16227766, приблизительно 0.948683298101028.
    второй — под знаком радикала 3/2

    все по 1/3 (случай, когда все попарные суммы превосходят 0,5, и ни одна переменная не превосходит 0,5)
    все подкоренные — 1/2, раскрываем — приблизительно 0.707106781186545

    От частных случаев пора перейти к общему

  11. ReMonkey:

    квадратный корень из полутора — приблизительно 1.22474487139159

  12. AiCrazy:

    во–во.можно было и без чисел конкретных в буквенном виде получить что меньше корня из 2.

  13. Peels:

    Хорошая задачка. Не знаю как решить, но вот вам слету всяких идей.

    1) Неравенство Йенсена, для функции f(*) = sqrt(*/(1–*)). Будь эта функция выпуклой, все бы сразу решилось, но она не везде на промежутке [0,1] выпукла. Может это можно как–то обойти, было бы простое и красивое решение.

    2) Неравенство Чебышева для последовательностей (sqrt(a), sqrt(b), sqrt©) и (sqrt(1/1–a), sqrt(1/1–b), sqrt(1/1–c)). Позволяет что–то там преобразовать, но слету у меня ничего не вышло.

    3) Неравенство о средних, можно применить для того, чтобы избавиться от квадратных корней. Мне правда ничего не дало.

    4) Классическое неравенство Коши тоже так и просится, вот только знак там получается не в ту сторону.

    5) Можно записать выражение вроде такого:
    (sqrt(a) + 1/sqrt(1–a))^2 >= 0
    Раскрыть скобки, просуммировать для a, b, c, и посмотреть — вдруг выйдет че.

    6) Можно обозначить * = sqrt(a) = sin(alpha).
    Тогда неравенство превращается в tan(alpha) + tan(beta) + tan(gamma) >= 2 c условием что sin^2(alpha) + sin^2(beta) + sin^2(gamma) = 1.
    Может можно посмотреть на это геометрически (типа *^2+y^2+z^2 = 1 это сфера, и где там на сфере чета там находится).

    7) Можно избавиться от третьей переменной, и записать выражение в виде
    sqrt(a/(1–a)) + sqrt(b/(1–b)) + sqrt((1–(a+b))/(a+b)) >= 2.
    Если теперь показать что
    sqrt(a/(1–a)) + sqrt(b/(1–b)) >= sqrt((a+b)/1–(a+b))
    то дальше все получится, т.к.
    sqrt(a/(1–a)) + sqrt(b/(1–b)) + sqrt((1–(a+b))/(a+b)) >= sqrt((a+b)/1–(a+b)) + sqrt((1–(a+b))/(a+b)) = * + 1/* >= 2

  14. AiCrazy:

    Тут исключительно школьный курс.Это то ли с какой–то международной олимпиады,то ли из задачника Кванта.

  15. Peels:

    Все методы упомянутые выше — исключительно школьный курс (но именно в контексте того, что подразумевается школьным на олимпиадах).

  16. AiCrazy:

    Олимпиада–согласен.Задачник Кванта не подразумевает поиска теорем за пределами учебника.ну да ладно,лишь бы доказать.

  17. Peels:

    Ты только что был неуверен, задачник это или олимпиада. На мой взгляд так типичная олимпиадная задача.

  18. AiCrazy:

    Я и сейчас не уверен.Это я для того усложняю всякими историями про задачник,чтобы не было читерства с применяемыми методами.

  19. Peels:

    О, нашел. Даю подсказку:

    sqrt(a(1–a)) <= 0.5

  20. Peels:

    И кстати неравенство в конце концов получается строгое.

  21. Peels:

    (поэтому методы с классическими неравенствами типа Коши или Йенсена не прокатили бы)

  22. AiCrazy:

    Пиши,не томи

  23. Peels:

    Спойлить задачки совсем религия не позволяет. От вышеуказанной наводки до собственно неравенства итак всего два–три шага.

  24. AiCrazy:

    Бля,откуда наводка–то взялась.Давай так.

  25. XoDad:

    а если a=0.5? не понял..

  26. XoDad:

    а, тогда да ) всего одна з..

  27. XoDad:

    не, нифига не понял 🙂 думаю

  28. Peels:

    Из вышеперечисленных подходов решения см номер 5 и совмести описанный там принцип с наводкой.

  29. AiCrazy:

    Еще меня мучает вопрос перехода к строгому неравенству,ибо он подразумевает отсутствие решения диофантового уравнения от 2 переменных в действительных числах.Ну правда,можно полное решение,чтобы я понял свою никчемность.

  30. AiCrazy:

    Ошибка.Не диофантового.Тем не менее в поле действительных чисел.

  31. Peels:

    Смотри на подсказку

    sqrt(a(1–a)) <= 0.5

    и думай как бы там получить выражение вида sqrt(a/(1–a)), причем со стороны знака «больше».

  32. Rotcif:

    Peels> 1) Неравенство Йенсена
    2) Неравенство Чебышева
    3) Неравенство о средних
    4) Классическое неравенство Коши тоже так и просится

    Забыл перестановочное неравенство (про скалярное произведение одномонотонных последовательностей).

  33. AiCrazy:

    Чувак,я увалень.Не выделывайся,плиз.дай мне полное решение.

  34. Peels:

    Ну это то же самое что и Чебышева с практической точки зрения.

  35. Rotcif:

    Peels> Хорошая задачка.

    Похожа на стандартную олимпиадную «утешиловку» 🙂 Стандартный метод — как–то там попарно повертеть, применть AM–GM, потом три полученных неравенства просуммировать, применить ограничивающее условие (a+b+c=1).

    Peels> …но вот вам слету всяких идей.

    Некоторые другие идеи.
    1) Не теряя общности, считать a ? b ? c.
    2) Можно усложнить задачу — усилить неравенство (сейчас оно по сути строгое), поставив справа 3/?2 вместо 2.
    3) Так как придётся делать что–то вроде приведения к общему знаменателю, чтоб меньше тратить бумаги, можно провести замену, уменьшающую сложность знаменателей:
    * := b + c, y := a + c, z := a + b,
    a ? 1 ? *, b ? 1 ? y, c ? 1 ? z,
    * + y + * = 2.
    4) Полезно заглядывать в Вольфрам–Альфу на предмет «как быстро возрастает слагаемое».
    5) Используйте, наконец, Texify (через сокращатель ссылок) для вставки формул.

  36. Peels:

    Я не выделываюсь. Я правда не разделяю идею спойлинга хороших задач, а так же разного рода списывания и решения задач чужими силами. Цель задачи — напрячь твой мозг, иначе в ее существовании нет смысла. Напряги его, ты можешь, поверь в себя.
    Если же реально лень решать — просто не решай, сдайся и пусть ответ останется для тебя неизвестным. Твой мир от этого не перевернется. А потом ты вдруг додумаешься сам.

    В конце концов я тебе уже почти все разжевал. Ты реально не понимаешь как перенести буковки с одной стороны неравенства в другую? В таком случае забей на эту задачу и возьми для начала что–нибудь попроще.

  37. Peels:

    Стандартный метод — как–то там попарно повертеть, применть AM–GM, потом три полученных неравенства просуммировать, применить ограничивающее условие (a+b+c=1).

    Да, именно так. Других идей особо и не нужно.

  38. 905xela:

    Клево, получил удовольствие. Peels спасибо за выдержку.

  39. 905xela:

    Решил, спасибо за задачку.

  40. Kcin:

    Да, вчера часа два дома убил, пока до неравнества добрался–) Спасибо

  41. Noev:

    Тоже решил после подсказки Peels’а. Спасибо за удовольствие, задача красивая.

  42. AiCrazy:

    Есть более сильное неравенство.Теперь его помогите д–ть

    размер 334x43, 1.35 kb

Добавить комментарий