если хотите себе поломать голову, вот задачу с устного экзамена ВМК из серии «завальных». решал когда–то 8 часов.

исследовать функцию f(*) = sin(*) / * на монотонность, без применения производной. то есть сказать, возрастает она или убывает.

GD Star Rating
loading...

14 Responses to Задача с устного экзамена ВМК из серии «завальных»

  1. KiBig:

    задачу нужно решить в пределах школьной программы.

  2. LeBig:

    (|*|+3*Пи/2)/Пи
    Если это выражение нечётное, то растёт.

  3. LeBig:

    целая часть.

  4. Ruhcuhc:

    пардон, не увидел следующего комментария. Но этопонятно, а доказать?

  5. Ruhcuhc:

    так оно чаще всего даже нецелым будет)

  6. Zzov:

    1. В школьную программу пока еще входят производные и т. д.
    2. уранение * = tg(*) трансцендентное. Так что воруй–убивай.

    Что–то мне подсказывает, что профессор тупо отсеивал тех, кто ему не нравится.

  7. KiBig:

    важное условие к задаче
    исследовать на промежутке (0; pi/2)

  8. RoDad:

    Уж коль наш инструментарий ограничен школьной программой, и производной пользоваться нельзя, попробуем вспомнить, как выглядит синусоида на графике и поверим на слово тому, что она выпукла на участке от 0 до пи пополам. При таких исходных данных можно доказать убывание, оперируя геометрическими рассуждениями:

    1. На всём отрезке синусоида идёт ниже прямой y = *.
    2. Хорда, проведённая из нуля через любую точку синусоиды на нашем отрезке, пройдёт под синусоидой, т. к. это следует из выпуклости последней.
    3. При любом фиксированном * значения соответствующих ординат на хорде и на прямой y = * будут иметь одно и то же отношение, равное отношению sin(*) / * в точке *0, где хорда пересекает синусоиду.
    4. Т. к. хорда идёт ниже синусоиды, для любого * из (0; *0) отношение sin(*) / * будет больше, чем sin(*0) / *0.
    5. Сказанное справедливо для любого *0 больше 0 и до Пи / 2 включительно. Таким образом, функция sin(*) / * убывает на всём отрезке.

  9. Zzov:

    не надо ничего принимать на веру и пользоваться выпуклостью (хотя бы потому, что при выпуклости вверх производная убывает требует знание производной).

    1. При стремлении к нулю мы все знаем (замечательный предел).
    2. sin(* + dx) = sin(*)cos(dx) + sin(dx)cos(*) < sin(*) + sin(dx), а для * выполняется равенство, следовательно * растет быстрее. искомая функция убывает.

  10. RoDad:

    Определение выпуклости не использует производную хотя бы потому, что выпуклыми могут быть и недифференцируемые функции.

    Из того, что функция y = * растёт быстрее, напрямую никак не следует, что отношение sin(*) / * убывает. Приведу контрпример: функция y = *^2 на отрезке [0; 1] растёт не быстрее функции y = 2*, однако отношение *^2 / 2*, как это ни странно, возрастает.

    С другой стороны, из вашего соотношения (2) можно показать выпуклость, не прибегая к производным.

  11. KiBig:

    я решал просто. допустим, что функция либо строго возрастает, либо строго убывает. Возьмем x1 < x2 такие, что x1, x2 принадлежат отрезку (0;pi/2) и x1 < x2.
    Остается сравнить ( sin(x2) / x2 ) — (sin(x1) / x1) с нулем, чем я и занимался кучу часов 🙂
    Сейчас бы сделал быстрее, на днях сделаю и выложу.

  12. RoDad:

    намёки на монотонность в условии проскальзывали, но я не стал основываться на этом предположении, иначе действительно всё было бы слишком просто: сравниваем в двух точках и получаем результат )

  13. Peels:

    Если очень надо исходя из только школьной программы, то сначало надо понять что в школьной программе определяется как синус.

    Положим что под синусом понимается проекция соответствующего угла на ось Y.

    Тогда следующее размышление элементарно показывает что sin(*)/* убывает на промежутке от 0 до pi/2.

    Возьмем какую–нибудь х.
    * Ей соответствует точка на окружности.
    * Само число х соответствует длине дуги от точки (1,0) до соответствующей точки на окружности.
    * sin(*) соответствует Y–координате данной точки.

    Теперь возьмем y > х. Чисто геометрически можно показать, что sin(у)/sin(*) (т.е. отношение высот двух точек) будет меньше отношения длин соответствующих дуг. Отсюда получается искомый ответ.

Добавить комментарий