есть выбранная комбинация из 10 цветных шаров (с повторами. всего цветов — 5). Далее, выбираем еще 10 (с повторами)
Вопрос: с какой вероятностью в комбинациях есть хотя бы одно совпадение цветов (сочетание, порядок не важен)?
… xотя бы 2?
… xотя бы 3?

с какой вероятностью я соберу аналогичный набор цветов?

спасибо

GD Star Rating
loading...

23 Responses to Вероятность совпадения цветов

  1. 4neg:

    интересует формула для вот этиx вот «xотя бы». не могу сообразить/найти

  2. 4neg:

    вобщем, я тут подумал, и понял, что можно упростить.

    С какой вероятностью я угадаю xотя бы N чисел из M–значного кода (0–9).

    С повторами, без — не суть. Какой принцип вообще вот у этого «xотя бы»? Чего погуглить?

  3. SiLyrik:

    1 — р(ни одного).

  4. SiLyrik:

    хотя вру, это если хотя бы один, а тут еще «не два» например

  5. 4neg:

    код, допустим, 12значный.
    возможны* чисел получается: 10^12.

    допустим, беру одну цифру: всего возможны* комбинаций 10.

    тааак тепрь нужно посчитать вероятность того, что в коде не будет фигурировать xотя бы одна цифра из десятка.
    как?

  6. 4neg:

    значит всего кодов : 10^12 (S)
    кодов с отсутсвующей xотя бы одной цифрой : 9^12+8^12+7^12+…+1^12 (s)
    вероятность того, что в коде не будет фигурировать xотя бы одна цифра из десятка = s/S = 0.367428536133
    верно?

    поговорите со мной!)

  7. 4neg:

    0.367428536133 (z)

    следовательно,
    вероятность того, что вынутая мной цифра присутствует в коде это:
    какое–то сочитание (1–z) и 1/10
    перемножить иx что ли?

  8. SiLyrik:

    я не поняла, вероятность того, что в коде не будет фигурировать хотя бы одна цифра из 10 возможных? Это, пардон, невозможное событие.
    Переформулируй задачу, пожалуйста.

  9. 4neg:

    возможное. цифры в коде могут повторятся. дестизначный код может состоять из одной цифры

    а вот код не содержащий xотябы одну цифру (только 4): 1233567890

  10. 4neg:

    Еще упрощаем:
    Какая вероятность что 2 дву* наугад сгенерированны* 12–значны* кода будет совпадать xотя бы N цифр.
    N — от 0 до 12
    числа от 0 до 9

    Ребят, очень нужно, ткните куда копать пожалуйста, уже все задачи по комбинаторике пересмотрел(

  11. 4neg:

    что в дву**

  12. SuLyrik:

    Совпадают это как в фильмах про хакеров — одинаковые числа на одинаковых местах?
    Например: 0123 и 0333 имеют только 2 совпадения или как?

  13. 4neg:

    не, совпадают — это значит есть в набораx, но положение иx не важно

    3881 == 1838

    2223 и 4442 — имеют только одно совпадение

  14. SuLyrik:

    У меня пока получилось только для «ни одного совпадения» (а следовательно и для «хотя–бы одно совпадение»)

    Вероятность, что ни одно число не совпадет:

    Image #1099793, 36.5 KB

    Где b — размер алфавита, f, s — количество букв в первом и во втором слове, соответственно, фи — простая переменная.

    Вроде всё правильно, в простых случаях сходится (например при b=3 f=1, s=2 дает 4/9).
    Если надо, объясню на уровне 18–ти летнего вмкашника (кем я и являюсь) как получился такой корявый и не совсем комбинаторный результат.

    Хотя–бы одно совпадение это соответственно все остальные случаи.

    Завтра попробую всё остальное добить.

  15. Peels:

    Накину–ка тебе пару мыслей, авось поможет.

    Во–первых, заметь, что вопросы
    а) «У меня фиксированное n–значное число, я сгенерирую второе случайное n–значное число, с какой вероятностью у двух чисел совпадут К цифр»
    и б) «я сгенерирую два случайных числа, с какой вероятностью у них совпадут К цифр»
    — это совсем не одно и то же

    Во–вторых, заметь что некоторые конкретные случаи решаются довольно легко. Например вариант а) где К=n (все цифры) или К=0 (ни одной цифры, откуда легко получается «хотя бы 1»).
    Предположим ты рассматриваешь четырехзначные десятичные числа, и твое число — 1123. Тогда:
    1a) Вероятность получить число из таких же цифр равна (количество перестановок с повторениями 1123)/(10^4).
    1b) Вероятность получить число, не содержащее таких же цифр равна 1/7^4.
    1c) Вероятность получить число, содержащее хотя бы одну совпадающую цифру = 1–1/7^4.

    Дальше можно вручную скрупулезно вычислять и более сложные вещи, типа
    1d) Вероятность получить число, у которого совпадет 2 знака = совпадут 11 или (совпадут не 11, но 12) или (не 11, не 12, но 13) или (не 11, не 12, не 13, но 23) = дальше довольно занудно.

    В–третьих, возможно тебе поможет следующий классический прием.
    Рассмотрим для простоты числа из трех цифр. Пусть цифры будут х, у, z.
    Тогда множество всех наборов цифр однозначных чисел будет:
    *+y+z
    Для двузначных чисел это будет:
    (*+y+z)^2 = xx+XyMonkey+xz+yx+yy+yz+zx+zy+zz
    Для трехзначных чисел это будет
    (*+y+z)^3
    и так далее.
    Пусть задуманное тобой число — xxyz
    Тогда рассмотри следущее выражение:
    (*+y+z)^4/(xxyz) = xxxx/xxyz + xxxy/xxyz + …
    В нем будет куча членов (всего 3^4), причем члены «1» будут соответствовать всем случаям, когда четырехзначное число состоит из цифр xxyz, члены вида «a/b» будут соответствовать всем случаям, когда четырехзначное число отличается от твоего в одном знаке итд. Вопрос комбинаторики сведется к вопросу подсчету членов данного выражения, которое зачастую можно осуществить, хитро подобрав значения х,y,z, поинтегрировав, подиференцировав и подставив какие–нибудь значения опять.

    Более того, схема легко расширяется до вот такой:
    (*+y+z)^4(1/* + 1/y + 1/z)^4
    В данном разложении всего 3^8 членов — все возможные пары четырехзначных чисел, причем единицы соответствуют случаям, где оба числа состоят из одинаковых цифр.

    Давай для конкретного примера возьмем здесь * = t, y = t^10, z = t^100. Выражение превратится в
    (t + t^10 + t^100)^4(t^–1 + t^–10 + t^–100)^4
    Легко увидеть что в разложении бывшие единицы останутся единицами (их, кстати, всего 639.), а бывшие не–единицы, будут какими–то членами с t в ненулевой степени, иногда положительной, иногда отрицательной. Минимальная степень t будет равна
    t^(4–400), поэтому домножив выражение на t^396, получим правильный многочлен от
    t^396(t + t^10 + t^100)^4(t^–1 + t^–10 + t^–100)^4
    Теперь ответы на многие вопросы можно получить, узнав разные коэффициенты данного многочлена. А их можно узнать разными способами. Например, взяв несколько раз производную и подставив t = 0. Иногда таким образом можно выяснить рекурсивную формулу, дающую нужный тебе ответ. А иногда компьютер сам скажет ответ и тебе пофигу как он это подсчитал.

    Еще можно попробовать подставить вместо *,у,z что–нибудь в духе exp(*), exp(y), или там exp(*)t^10, итд. Но в любом случае ответ на твой вопрос вряд ли получится в виде простого аналитического выражения. Без компьютера не обойтись и вопрос лишь в том, как ускорить вычисление.

    Дальше сам, авось надумаешь чего.

  16. Peels:

    Ой, чета я тут опечатался:
    1b) Вероятность получить число, не содержащее таких же цифр равна 7^4/10^4.
    1c) Вероятность получить число, содержащее хотя бы одну совпадающую цифру = 1–7^4/10^4.

  17. SuLyrik:

    Привет 🙂

    И да, мое решение для второго случая — «я сгенерирую два случайных числа, с какой вероятностью у них совпадут К цифр».
    Так как надо учитывать, что появление слова 111 имеет меньшие шансы чем 112 или 121 или 211.

  18. DlBam:

    1. Найдем вероятность что в двух числах совпадают N цифр, цифры должны стоять только на соответствующих местах. p = 1/10 — вероятность совпадения одного разряда. Тогда искомое будет:
    (p^N)*((1–p)^(12–N)) — т.е. N чисел совпадают и 12–N чисел не совпадают.
    2. Укажем что второе число можно переставлять как угодно, т.е. 123 = 132 = 231 и т.д. Это будет 12^10.
    Перемножаем первое и второе.

  19. SuLyrik:

    Ммм, просто проверим — p = 1/3; 3 буквы в обоих словах.
    Пусть нет ни одного совпадения — тогда искомое = ((1–p)^3)*(3^3) = 8, что не правильно.

    И не забудте, что хоть 111 = 111 = 111, но это одно и тоже число.

  20. SuLyrik:

    Хмм, это не правильное решение. Нашел ошибку 🙂

  21. 4neg:

    насчет «во–первы*» — опечатался. Мне интересен слуачй с двумя числами одинаковой длинны.

    Насчет всего остального — большое спасибо. для меня сложновато) попробую впитать частями

  22. 4neg:

    попытка сформулировать на мат. форуме.

Добавить комментарий