Тут может знает кто, я немного преподаю математику. Из общения с четырьмя учениками у меня получилась статья о заблуждениях в том, как учат математике. Внутрь я сделаю репост этого безобразия и жду комментариев и, может быть, дополнений.

размер 425x307, 59.11 kb

GD Star Rating
loading...
Tagged with →  

50 Responses to Как учат математике

  1. CiMoon:

    4 заблуждения в преподавании математики

    1. Математика — нужный предмет

    Каждому преподавателю свойственно считать, что именно его предмет самый важный. Родителям же свойственно считать, что всё, чему учат в школе, полезно и непременно пригодится человеку в жизни. Однако, внимательно изучив школьную программу по математике, редкий родитель оказывается в состоянии всё вспомнить и понять, что из чего в этой программе следует. И мало кто задумывается, что причиной тому является бесполезность части этих знаний в жизни человека.

    Разуму человека свойственно отторгать знания, в целесообразности которых он не убеждён. Для того, чтобы сохранить эти знания, человеку приходится регулярно делать искусственные упражнения для поддержания интеллектуального тонуса. Однако, если польза от регулярных упражнений, скажем, на пресс, очевидна, то многократное повторение упражнений на решение квадратных уравнений вряд ли прибыват ума тренерующемуся.

    2. Оценки имеют значение

    Это заблуждение не столько ученика, сколько системы образования. Предполагается, что тесты и контрольные работы по математике в состоянии диагностировать знания ученика.

    На самом же деле получить отличную оценку за тест на знание теорем получится скорее у того, кто выучил эти теоремы наизусть. В результате происходит подмена реальной цели — изучения математики — её зазубриванием.

    3. Математику надо учить

    Какой максимальный объём поэзии вам приходилось выучить наизусть? А прозы? Конечно, в каждой профессии есть определённый набор знаний, которыми должен обладать человек. Однако наизусть их учить как правило нет необходимости. Исключение составляют актёры, юристы. Исключение также составляют случаи, когда надо подготовить выверенный по времени и объёму знаний доклад, но и здесь обычно хватает близкого к оригиналу пересказа с демонстрацией нескольких опорных тезисов.

    В случае с математикой некоторые ученики начинают всерьёз полагать, что определения и теоремы необходимо учить наизусть. Такая точка зрения не просто ошибочна, она опасна! Вместо настоящей цели изучения математики — понимания работы математических структур — ученик пробует выучить материал наизусть. Последствия этого можно легко предсказать, если положить в стопку все учебники по алгебре и геометрии с 7 по 11 класс.

    Преподавание математики — это наука о том, как не учить определения, не учить правила, не учить теоремы, не учить формулы, и уж точно не учить методы решения задач.

    4. Выучить—сдать—забыть

    Потребность забывать — естественная потребность человека. Разум нуждается в освобождении от лишних знаний, чтобы было куда складывать новые. Поэтому зачастую первое, чему бессознательно учится ученик — расставаться со знаниями непосредственно после написания контрольной работы.

    Такой подход совершенно не применим к математике. Расставаясь с некоторыми знаниями, ученик лишается возможности дальше изучать математику.

  2. Ruhcuhc:

    согласен по всем пунктам. Это не только в школе, в институте то же самое

  3. SpMonkey:

    Darth– с первым пунктом согласен, однако мне по большей части программа математики школьная будет понятна и ясна, я действительно пойму куда в последствии эти знания пригодятся, или нет 🙂

    Вот по остальным есть нюансы:
    Оценки имеют значения, причем для преподавателя гораздо большие нежели для ученика, дело в том, что без оценок невозможно будет оценивать труд преподавателя. Система образования изначально имея оценки предполагала например сдачу выпускных и вступительных экзаменов, на которых контролировались знания ученика. Текущие оценки больше необходимы для оценки учителя. Т.к. образование у нас общее дается всем и бесплатно, по сути дела нет возможности индивидуально оценивать талант ученика и его знания, приходится усреднять требования, при этом часть учеников будет действительно применять знания правильно будут размышлять и думать, а часть будет зубрить, это как один из вариантов решения стоящей перед ними проблемы (сдача контрольной или экзаменов) ибо другого пути они не имеют, в силу ограничения самого склада ума. Не все математики от рождения, развития мат способностей у конкретного индивида есть отдельный трудоемкий процесс настроенный индивидуально, при этом развитые способности большей части и не нужны, при этом чтоб сделать всех учеников способных размышлять в рамках математики а не зубрить её просто невозможно, не хватит 10 лет обучения для 80%, при этом придется задвинуть остальные предметы, в которых они возможно проявили свои таланты. А оставшимся 20% будет просто охуенно скучно сидеть и слушать по 100 раз одно и тоже, при условии что они уже все давно поняли и не понимают нахуя это нужно. Посему если у ученика от природы есть талант, или его развивают ему родители сами или через кружки и секции, то ему эта математика будет даваться легко и не принужденно, он не будет напрягаться и будет получать удовольствие в том числе от решения задач, и базовая программа необходима именно для того, чтоб вызвать интерес и выявить таланты, остальных хотя бы надрочить. При том даже в рамках математики одним будут легко даваться геометрии, другим алгебры. Вообщем наезд на неважность оценок и не правильные подходы считаю не совсем оправданным.

    Третье: относится и ко второму, кому как что дается, я никогда не учил ничего кроме определений (согласитесь определения выучить просто необходимо, это ещё Гёдель доказал :)) ). Все что выводится я не учил, лишь запоминал метод вывода. Кстати методы доказательства теорем опять же придется учить, это уже из области философии все же. Каждый метод понимаешь, иногда с теоремой запоминаешь каким методом её доказывали и нюансы если они есть. Я никогда не воспринимал математику как то, что мне необходимо учить, и в учебниках я на это не обращал внимание, просто пытался понять. И все легко давалось, при этом механических решений задач я не делал, за что регулярно получал двойки за отсутствие домашней работы, при этом контрольные и прочие решались на отлично всегда. И если один учитель не требовал решения домашней работы, и я был у него отличником, то другой (въедливая старая соросовская лауреатка) было принципиально чтоб я дрочил с утра до вечера базовыми задачками, вот у неё средняя моя оценка была около тройки всегда. Вот этого я никогда не понимал в ней, не было случая чтоб я не решил в классе чего нибудь, но блять вынь да полож каждый день ей 10 примеров которые в уме решить можно.

    Выучить сдать забыть: к математике не применим, но тут каждый в силу своих возможностей делает, я вас уверяю далеко не каждый ученик имеет такой подход (у меня точно такого не было) и сама система не склоняет к этому (кроме тестов), тут вопрос опять же способностей ученика конкретного. Мне всегда было проще понять суть и не грузить себя лишними знаниями в виде зубрежки. Лично мой организм пытался путем размышлений максимально снизить объем информации, которую необходимо запомнить, в результате чего я доводил себя до понимания сути самой с этим и пытался все делать. К примеру в области физики я всегда пытался представить себе сами объекты до мельчайших деталей, поэтому все что до уровня элементарных частиц мне давалось легко и просто, но вот как только возникало N–е измерение я тут же тупел 🙂

  4. LeBig:

    Сейчас местами считается что и таблицу умножения знать вредно. Достаточно умения пользоваться калькулятором. Хотя никак иначе, кроме как зубрёжки, её не запомнить.
    Базис геометрии — аксиомы Евклида. Тоже, как любые аксиомы, бездоказательны.

    Если говорить о системах образования, то в начале нужно определиться, кто нам нужен в итоге: «успешные менеджеры» или профессиональные математики, инженеры и программисты. Далее можно сравнить школы преподавания в разных странах, с поправкой на уровень жизни.

    Также нужно понимать, что в средней школе программа рассчитана на среднего усердного ученика. Цинично рассуждая, можно сказать, что обществу глубоко плевать что полкласса давно отстало от программы и не воспринимает новую информацию. Зато самые успешные получат более качественные знания. Если опускать планку и заботится о последнем лоботрясе, то 3–4 лучших ученика из класса потеряют шанс на развитие в этой сфере.

  5. Dr4:

    таблицу умножения учат не потому, что она так сильно полезна, а потому, что в реальной жизни быстрее вспомнить, чем сосчитать
    кстати, можно раскладывать на простые и умножать постепенно, если лень учить всю таблицу
    в советские времена я помнил телефоны всех приятелей и одноклассников наизусть — не потому, что это были полезные знания, а потому что быстрее вспомнить, чем лезть в бумажную записную книжку
    с развитием технологии многие знания, которые раньше вызубривались, стало быстрее или проще получить другим способом, это естественный процесс

    ну и сюда же добавлю автору: далеко не каждый преподаватель считает свой предмет самым важным. если предмет не профильный, хороший преподаватель как раз сумеет донести необходимый минимум, а если он учит будущих профессионалов, пойдёт гораздо глубже. не надо всех в одну кучу

  6. Peels:

    Отличный заход на интересный флуд, разве что такой флуд идеален для бани и прочего живого общения, а текстом простынями обмениваться скоро утомит.

    Лично я категорически НЕ согласен здесь со всеми пунктами. Позвольте высказаться по первому, ибо он примарен, остальные в общем–то мелочь.

    1. Математика очень нужна т.к. это в первую очередь наиболее эффективный способ научить абстрактному мышлению и анализу. Примеры такого мышления, в порядке повышения уровня абстракции: умение увидеть на столе два яблока и рассмотреть их как два объекта (вам это очевидно, а младенцу или собачке может и нет), умение рассмотреть машину как систему, состоящую из корпуса и колес и угадать что куда полетит в аварии (как бы глупо это не казалось — это не всегда очевидно дошкольнику), умение увидеть в аргументации некоего вопроса три независимых аспекта (с этим зачастую не справляются и взрослые люди), умение увидеть структуру на множестве всевозможных аргументаций данного вопроса, умение понять то, что существуют вопросы, аргументации которых имеют разные структуры, итп. В самом конце этого списка стоит умение принимать сложные решения в нетривиальных ситуациях, где аккуратный многоуровневый анализ ситуации — единственное спасение. Математика (для школьника) нужна именно для того, чтобы практиковать такого рода умственные эксперименты в «лабораторных условиях» и научить ему этому анализу.

    Мне тоже случалось преподавать в частном порядке несколько раз, и для меня случилось откровением, что не каждому ребенку очевидно, что выражение (*+y)^2 можно рассмотреть как две операции, и совсем не слету понятно, что данное выражение — частный случай выражения a^2. Ребенок вынужден усиленно думать чтобы подогнать один паттерн под другой. Во–первых, он не понимает что паттерн есть смысл в чем–то искать изначально. Во–вторых, даже если ему подсказать, что паттерн надо поискать, у него нет эффективных механизмов его поиска и он активно думает над этим, тем самым лишая себя времени подумать на более высоком уровне абстракции. Человек, тратящий кучу времени на элементарные операции «заметить сходство конфигураций» никогда не сможет принимать сложные решения — у него просто не будет возможности добраться в своих размышлениях до сути проблемы, если он вообще уловит эту суть.

    Вот это элементарное свойство поиска паттернов (не только в символических выражениях, но вообще везде) и умение абстрагироваться от сложных систем (принятие самой идеи «обозначим что–то за Х и забьем на его внутренности» имеет огромные последствия для навыка анализа и мышления), умение легко и ненапряжно оперировать абстрактными паттернами может прийти только через занудную зубрежку — повторение абстрактных упражнений до автоматизма.

    Помимо этого основного свойства предмета «математика», изучение математики чревато еще по крайней мере двумя полезными эффектами:
    1) Умение эффективно вычислять и применять какие–то математические алгоритмы для решения практических проблем в разных областях жизни. Большинству людей это и правда не очень нужно, что вынуждает некоторых думать, что, мол «математика–то нам нафиг в жизни не сдалась, я и без нее с покупкой яблок справляюсь».
    2) Знание собственно предмета «математика» как области науки, знание аксиом, теорем, базовый набор специфических умений и соответствующий кругозор. Этому, правда, к сожалению, мало где в школах учат.

    Позвольте заключить банальным наблюдением — люди с недостатком математики в образовании отличаются от других не тем, что они, видите ли, не знают каков интеграл от икс — этого не помнят ни те ни другие, — а тем, что первые обычно не умеют четко и внятно формулировать мысли, путаются в аргументации, и в большинстве своих действий зачастую полагаются на интуицию, иногда в ущерб здравому смыслу (ну а если они и пытаются имитировать «размышление», то выходит у них вместо этого обычно какая–то херня).

  7. ErOn:

    Darth– пункт 4. Думается мне, нужно чтоб препод был толковый, чтобы люди поняли. А вот у нас было: надрачивание уравнений и тонны матерьяла. В итоге я вообще никуя ща не помню. Как — то так. Ну и еще момент, что, как мне кажется (нубское непрофессиональная точка зрения), что вся не cutting–edge математика сосредоточена в справочниках и оттуда извлекается при необходимости. А cutting–edge математика нужна только математикам, ну, они и так все знают.

  8. ErOn:

    про абстракцию, ты верно подметил, математика учит этому очень хорошо, вернее, не учит а заставляет ужиться с абстрацией, т.е. либо ты ужился, либо нет, тут уж извини. Оффтоп: про интуитивные и логические выводы можно сколько угодно флеймить, что лучше, а что хуже для жизни, да и вообще, насколько логичность применима.

  9. Ruhcuhc:

    на мой, смею надеяться, посвященный взгляд, математика учит в первую очередь думать. Строить модели. Оперировать абстракциями. Говорить на новом языке. В школе же учат быть арифмометрами, в лучшем случае, компьютерами с разнообразными программами. В институтах учат тому же самому только с чуть более продвинутыми установками. Очень жаль, что большинство людей под словом «математика» понимает именно эту школьную зубрежку. К сожалению, чтобы осознать красоту большинства интересных проблем, требуются годы подготовки. Но кое–что можно показать и детям.

    Я когда–то работал в школе. Пытался объяснить алгебраические операции на геометрических примерах третьеклассникам, свойства треугольников на примере тиангуляции на местности тем, кто постарше (мы действительно ходили в парк и меряли расстояния при помощи подзорной трубы), делал трехмерные мультики про поезда. В итоге понял, что мультики мне делать интереснее и 8 следующих лет занимался 3D.

    Мне повезло, у меня были Учителя. Аркадий Натанович Питман, который пытался нам, шестиклассникам объяснить теорию Галуа, Лев Элевич Генденштейн, написавший несколько книжек–комиксов про механику и оптику (до сих пор считаю, что это самое лучшее изложение материала, который мне встречался), учитель физики Эпштейн, вместе с которым мы пытались решать серьезные физические проблемы и строить мат.модели (а ну–ка попробуйте рассчитать песочные часты? Или объяснить, как и почему лопается стакан?).

    Боюсь, такие люди могли существовать благодаря, или, вернее, вопреки советской системе образования. Теперь же они невозможны в принципе. В Германии, например, я вообще не могу представить, чтобы учителя занимались с детьми чем–то дополнительно, помимо программы.

  10. Peels:

    Я бы сказал что именно учит. Умение абстрагироваться вдалбливается правильно организованным повторением точно так же, как и любое другое умение.

    По поводу сути аксиоматических логических измышлений и их сравнению с интуитивной логикой можно выстроить вполне убедительную аргументацию о преимуществе наличия логических способностей над их отсутствием, но там слегка простыня, поэтому лень писать.

  11. Zvin:

    я как раз думаю, что таблица умножения в том виде, как её заучивают — вещь не однозначно нужная. Вот моё обоснование:
    Детей учат изначально в десятичной системе счисления, и подразумевается, что таблица умножения нужна для быстрого умножения и деления в столбик. Нужно ли говорить, что это не единственный способ умножать и делить. Можно обойтись знанием умножения и деления на 2, сложением и вычитанием, и результат будет ничуть не хуже.

  12. CiMoon:

    Кстати, первое, что я говорю своим ученикам, что я не согласен с разделением предметов на алгебру и геометрию. У меня ученики знают геометрический смысл умножения, и некоторые в курсе, что любой прямой задаче мы обязательно сопоставляем обратную, и что вычитание и деление и есть те самые обратные задачи.

    И, собственно, твой комментарий содержит понимание той самой разницы между тем, что такое математика, и тем, что выдают за математику в школе.

    //nbspace.ru/math/

    Это статья собственно заложила основу моих размышлений, ныне изложенных в виде 4 тезисов. Не исключаю, что эти тезисы нуждаются в доработке, но рад, что вцелом попал.

    А ещё буду рад ссылкам на работы этих учителей. Мне тоже случается рассказывать «будущие знания» ученикам, но теорию Галуа рассказывать не приходилось. В каком это контексте?

  13. CiMoon:

    Проблемма в том, что той математике, о которой ты говоришь, учат единицы.

    Предпочтение логических паттернов интуиции странно прежде всего тем, что именно интуиция даёт жизнь знаниям, для которых паттернов пока нет. Например, строго логически Пифагор должен был придумать доказательство прежде, чем формулировать свою теорему. И ученики искренне удивляются тому, что Пифагор не просто сам не доказал своей теоремы, а что доказать её удалось лишь спустя 400 лет. Считать лоботрясами тех, для кого реальный мыслительный эксперимент важнее сухой школьной программы — это заблуждение (3).

    В школе лоботрясов было гораздо меньше, чем двоечников. Да и сам я был тем ещё лоботрясом, а по математике выезжал именно на том, что мне бабушка по–человечески объяснила математику, и она срослась в целостную картину мира.

  14. CiMoon:

    Таких преподов единицы 🙁 И нынешняя школьная программа усиленно борется с их появлением. Не столько тем, что написано в учебниках, сколько конкретным отсутствием заложенного в программу дополнительного времени на подобные лирические отступления.

  15. Ruhcuhc:

    Darth– да нет никаких работ. Даже Генденштейновские книжки уже не купить нигде. Все было «на лету», наитию и т.д. Для Галуа были предварительно рассказаны теория множеств, алгебраические многообразия, группы симметрий и т.д. Я бы все это по–другому излагал, но до сих пор преклоняюсь перед смелостью Учителя. Жаль, не в коня был корм.

  16. Ytin:

    Darth– погуглил «геометрический смысл умножения» — так сразу ничего и не нашел. про «любой прямой задаче мы обязательно сопоставляем обратную» тоже не очень понял.
    не могли бы чуть подробнее об этом?

  17. CiMoon:

    Если оценки нужны учителю, то не надо ставить их в дневники, надо объяснить ученикам и родителям, что это оценки «для себя». И кстати у нас некоторые вместо журнала с оценками ведут именно профиль ученика, куда пишется любая инфа по его знаниям. То есть констатируется, что он знает и понимает, а чего не знает или не понимает. И это более полезная для самого ученика система.

    Про определения и доказательства: понятное определение запоминается само. Опять же под «учить доказательство» ты наверняка имеешь в виду опорные шаги, а не заучивание текста. В том и вещь, что в школе больше учат зубрить и меньше понимать, поэтому многие ученики под «выучить доказательство» понимают «выучить доказательство наизусть». Приходится перетачивать им мозги.

    А по четвёртому пункту ты фактически обозначил, что твоя система знаний была не большой слабосвязанной, а маленькой сильносвязанной. Стремление понимать вместо того, чтобы зубрить, — это либо следствие тотального нежелания зубрить, либо результат того, что тебе было продемонстрировано (случайно или намеренно) преимущество понимания материала над его зазубриванием.

  18. CiMoon:

    Я обнаружил, что один и тот же материал можно давать по–разному. Например, мне случалось давать обыкновенные дроби через единицы измерения, в то время как умножения случалось объяснять через площать прямоугольника. По сути площадь прямоугольника m на n и есть геометрический смысл умножения. Тренеровки по вычислению его площади порождают убеждённость в том, что m*n = n*m, не нуждающуюся в зазубривании.

    Про прямую и обратную: вычитание является обратной задачей для сложения; деление является обратной задачей для умножения. Причём при таком подходе ученик понимает, что деление выполняется на самом деле подгонкой ответа под прямую задачу. Таким образом он способен применять таблицу умножения при выполнении деления, а также бессознательно проверять результат операции.

  19. CiMoon:

    Кстати, полагаю, теория множеств и алгебраические многообразия сегодня в школе куда актуальнее интегралов. Мне тоже порой приходится залезать в материал первых курсов ВУЗа именно потому, что потребность построить нормальную модель, которая объясняла бы реальный жизненный процесс, в поём понимании спозобна стимулировать интерес ученика.

  20. Ytin:

    Darth– вы, наверное, совсем маленьких детей учите. это мало отношения имеет к математике. даже к школьной.
    по–моему, понятие площади, например, куда сложнее, чем коммутативность умножения.

  21. CiMoon:

    Я учу разных детей и разным вещам. Понятие площади сложнее, и со временем они это понимают. И отношение к математике это имеет гораздо большее, чем решение тех же биквадратных уравнений. Площадь и объём позволяют наглядно демонстрировать применимость умножения не только к целым числам, объяснять правила умножения дробей (что в школьном курсе делается опять же зубрёжкой).

  22. Ytin:

    Darth– то, что m раз взять по n штук — то же самое, что n раз по m — наверное, можно объяснить и без площадей как–нибудь наглядно. а как вы будете объяснять про площади, когда прямоугольник не разбивается на целое число единичных квадратов — я не понимаю.
    иногда полезно бывает и просто выучить, понимание приходит не всегда сразу.

  23. CiMoon:

    Можно, но с площадями получается эффективнее.

  24. Peels:

    Darth– Проблемма в том, что той математике, о которой ты говоришь, учат единицы.

    Я говорю как раз о той занудной зубриловке на которую ориентировано большинство учебников. И мое утверждение в том, что она полезна. Не ради обучения собственно операциям, а ради практики абстрактного мышления.

    Например, строго логически Пифагор должен был придумать доказательство прежде, чем формулировать свою теорему.

    Нет, почему же. «Интуиция» высшего уровня аля Пифагор подразумевает наличие встроенных (вдобленных до автоматизма!) способностей к логическим выкладкам на уровень ниже.

    И ученики искренне удивляются тому, что Пифагор не просто сам не доказал своей теоремы

    Оффтопик, но это утверждение как минимум необосновано. Во–первых, аналоги теоремы были известны и до Пифагора, а раз они были известны и использовались, они были в своем роде «доказаны». Очевидно и Пифагор имел средства убедить себя в верности этой теоремы, раз он ей оперировал. По этому утверждать что он что–то «не доказал» неверно. В те времена понятие «доказательства» было отлично от нашего.

    Пассаж про лоботрясов мне неясен.

  25. Peels:

    Мне кажется ошибка людей, говорящих что «педагогика математики в современном виде не нужна» в том, что они думают, что математика, логика и абстрактное мышление — это набор фактов, которые нужно передать человеку и которые он потом будет использовать для подсчета числа купленных в ларьке ирисок.
    Из этого они делают два вывода:
    1) Вообще–то ириски можно считать и на глаз, поэтому нафиг эту математику.
    2) Если уж ее преподавать, то главное — передать факты максимально красочно и понятно, чтобы они «запомнились», чтобы вызвали ажиотаж, и т.п.

    По первому факту я уже высказался. Теперь по второму ибо это связано. Несомненно хорошо, когда учитель способен вызвать интерес к предмету и красочно рассказать про ту или иную теорему. Но не в единой передаче информации суть обучения математике. Как я уже заметил, математика, будучи по сути формализацией мышления — это в первую очередь умение. Умению же невозможно научить просто рассказывая сказки. Ни один самый харизматичный лектор не научит человека ходить по канату пока человек сам, в процессе долгих и тяжелых тренировок не поймет как это происходит. Точно так же, можно сколь угодно прекрасно рассказывать детям про теоремы в картинках, но если они сами не потратят энное количество времени на практику, от этого будет не больше толку чем от лекций для канатоходца.
    «Мышечная интуиция» касательно того, какие штуки можно делать на канате не появится до того, как человек научится на нем стоять. Точно так же абстрактная «интуиция» не появится без базовых нейронных связей абстрактной логики, установление которых, даже с нейрофизиологической точки зрения, не особо отличается от тренировки мышечных рефлексов.

    Из этого, в частности, следует, что хороший учитель не может полностью заменить рутинное решение задач. Он может лишь мотивировать учеников их решать, сделать процесс тренировки веселым, и помочь быстрее усваивать материал.

  26. Peels:

    Кстати расскажите мне, почему Гомер Симпсон на картинке пытается нарушить Великую Теорему Ферма?

  27. Xbiz:

    да к чёрту деление, оно через умножение отлично выводится.

  28. AlMath:

    Я когда–то здесь это уже что–то такое писал. Постараюсь развернуть идею.
    По моему глубокому убеждению математика представляет из себя априорную очевидность. Это становится понятно как только вы действительно в чем–то разобрались до конца. Поняли, вывели, запомнили. Все понятия тогда кажутся абсолютно простыми и ясными, не толпятся в голове, но в какой–то мере становятся. Сама суть математики заключается в осмысленной абстракции, вообще говоря, лежащей на поверхности, которую мы просто не видим в силу ограниченный способностей своих мозгов. Иначе выражаясь, что 1+1 = 2 понятно почти всем, однако даже этот факт в первый раз является открытием и потрясением, если попытаться его осознать. Изучение всей прочей математики, в своей сущности, не отличается от изучения этих основ. ничем от В любом предложении из учебника математического анализа смысла больше чем в аналогичном предложении

  29. CiMoon:

    У меня в жизни нет живого примера, когда бы зубриловка помогала развивать абстрактное мышление. Из этого я сделал вывод, что заключение новых знаний в абстракцию — это результат другого процесса, нежели выучка наизусть. Можешь рассказать свой опыт поподробнее, чтобы можно было его изучить?

  30. CiMoon:

    Это же очевидно! Я не знаю.

  31. CiMoon:

    Вообще я заметил, что ученики либо восхищаются преподавателем, и у них нет проблемм с предметом, либо они воротятся от препода, и у них есть проблеммы с предметом. Действительно связанные понятия. А ещё я заметил, что те, кто боится плохих оценок, действительно слабее принимают материал. Возможно, потому что для них силён страх ломки сознания.

  32. Peels:

    Darth– Опыт например таков. Берем парнишу, который терпеть не может математику и нихрена у него не получается (не помню уже что за класс, пятый что–ли). Пытаемся ему помочь и понимаем наконец, что, блин, мышление юного школьника кардинально отличается от моего. Абсолютно банальные вещи, вроде того, что «правило a(b+c) = ab + ac можно применять к любым выражениям схожего вида» идет с трудом. Я вижу как ему нужно реально думать чтобы это правило применять, потому что каждое применение этого правила для него не автоматизм, а какое–то глубокое осмысленное размышление, в результате чего он конечно таки применяет его, но все идет очень медленно, пример с несколькими такими операциями дается еле–еле, у него стресс, он терпеть это все не может, бросает задания на полпути, и т.д.

    Используем свой некий авторитет и его доброе расположение ко мне, чтобы втянуть его в зубриловку самых элементарных примеров. Начинаем с того, что ему ну совсем очевидно. Я выписываю подряд много–много схожих примеров в которых он точно видит сходство и может не задумываясь давать ответы. Клепаем подряд как из пулемета, я стараюсь угадывать что дать следующим, чтобы ему было легко, но не переборщить с занудством. У него сразу появляется ощущение что у него «получается», ему это начинает нравится, постепенно усложняем примеры. Т.к. примитивные компоненты уже работают на автомате, у него хватает времени обдумывать более сложные, он делает их быстро, продолжаем и в конце концов доходим до места, которое сначало казалось неподъемным. Он решает его сам на основе ранее сделанных аналогий.
    Повторяем схему несколько дней, пока у него не появится уверенность в своих умениях. Вместе с этим (ощущением, что пример не должен быть мученьем, и что к любой проблеме можно прийти маленькими шажками) появляется желание копать и дальше. Он начинает понимать и дальнейшие задачи даются уже на порядок легче.
    Математиком тот парень конечно все равно не стал но проблема успеваемости была решена. Сам факт того, что ему не хватало «автоматизма на низком уровне» и из–за этого дальше все было невмоготу и лень и не получалось, мне кажется, был ключевым.
    И уже ПОТОМ мы говорили с ним о том, зачем все это нужно, и как это связано с реальной жизнью, и т.п.

    Ну а еще я тебе могу сказать как человек любящий задачки олимпиадного типа и имеющий некий опыт в этом. Хотя многие думают что это какое–то особо–творческое свойство, умение решать такие задачки зиждется на бесчисленных схожих задачках, решенных ранее, и по сути зазубренных до автоматизма (пусть не всегда очевидным образом и не всегда осознанно) приемах и схемах решений. Т.е. хотя уровень абстракции и «сложность» выше чем в школьных примерах, суть здесь та же: «доведи один уровень до автоматизма — сможешь работать на втором уровне. Доведи второй уровень до автоматизма — тебе откроется третий, и т.д.»
    Абстрактное мышление на каждом уровне — это такой же алгоритм как и умножение. Пока ты его не знаешь, оно дается с трудом, но его можно довести до автоматизма (читай «научиться»).

  33. AlMath:

    (блин. тупая клава.)
    Я когда–то здесь это уже что–то такое писал. Постараюсь развернуть идею.
    По моему глубокому убеждению математика представляет из себя априорную очевидность. Это становится понятно как только вы действительно в чем–то разобрались до конца. Поняли, вывели, запомнили. Все понятия тогда кажутся абсолютно простыми и ясными, не толпятся в голове, но в какой–то мере становятся частью мышления. Сама суть математики заключается в осмысленной абстракции, вообще говоря, лежащей на поверхности, которую мы просто не видим в силу ограниченный способностей своих мозгов. Иначе выражаясь, что 1+1 = 2 понятно почти всем, однако даже этот факт в первый раз является открытием и потрясением, если попытаться его осознать со всех сторон. Изучение всей прочей математики, в своей сущности, не отличается от изучения этих основ. С моей точки зрения, четкое понимание математики до какого угодно уровня дает новые абстрактные представления расширяющие общее воображение человека. Я имею в виду, что знание математики всегда расширяет возможности мышления за счет этих самых знаний. Можно совершенно естественно видеть различного рода аналогии, строить связи и просто радоваться тому, что вселенная мысли не ограничивается описанием окружающего мира, но сама по себе бесконечна и что говорить офигительно красива. Короче, я имею в виду, что если бы мы были умнее в миллион раз, то для нас вся существующая математика была бы повседневной очевидностью не требующей изучения, но мы все равно бы учили другую математику, которую сейчас не можем даже представить. Проще говоря, изучая накопленные гигантским трудом знания по математике вы поднимаетесь над собственным уровнем очевидности.
    Для ребенка же, как мне кажется, математика всегда должна начинаться с интересных задач. Любая олимпиадная задача — это вызов интеллекту. Причем весь прикол олимпиадных задач в оригинальности, а не в сложности. Понять решение любой математической задачи всегда проще чем ее решить самостоятельно. Через подобные задачи ребенок учится думать, создавать в себе новое мышление. Именно это обычно понимается под «математика учит думать». Человек, который нарешался в свое время олимпиад, в университете не встретит особых трудностей, потому что он уже любит математику и воспринимает ее с одной стороны как игру, а с другой стороны, осмыслив ее, понимает ее место в мире.
    При этом математика, несмотря на свою абсолютно абстрактную природу, является результатом творения человека. Смысл здесь заключается в том, что любой компьютер может генерировать гигабайты непротиворечивых теорем, являющихся в сущности математическим спамом — то есть чем–то, что не имеет смысла для человека. Поэтому при изучении математики надо всегда пытаться понять смысл той или иной теоремы. Изучение какой–нибудь функции Жуковского или дифференциальных уравнений, часто привязывают а абстрагированным описаниям реальных физических процессов. Многие теоремы содержат смысл просто в своей красоте, то есть я хочу сказать, что если вы поняли теорию и у вас от этого захватило дух, а по спине побежали мурашки, то какой–то смысл этой теории вы уже поняли. Очень часто так получается, что создатель той или иной теоремы хотел донести какой–то определенный смысл, но потом оказалось, что этаже теорема обладает другим смыслом применимым в другой теории и так далее.
    Таким образом я считаю, что изучение математики должно зиждется на следующих идеях:
    1)Занятия математикой является вызовом для личности и ее интеллекта.
    2)Математика полная различного смысла, который проявляется почти везде. И в аналогиях с реальной жизнью, и в абстрактных идеях и в чем угодно. Главное, что этот смысл (и не один) есть для любой теоремы и для понимания этой теоремы у каждого человека он должен быть.
    3)Математика в целом превосходит все разнообразие вложенных в нее смыслов и со временем в вашей голове она начинает работать на себя, отыскивая новые смыслы, развиваясь и так далее. То есть вы видите аналогии, удивляетесь ее красоте и так далее. Поэтому эта идея тоже должна быть донесена до сознания учащегося.

    Ну вот пожалуй и все.

  34. Ruhcuhc:

    Darth– и это замечательно же!

  35. AlMath:

    Ну у меня и язык. Кошмар.

  36. SMDummy:

    указ об организации в ссср физико–математических школ проталкивало министерство обороны, например. и учителя, которые хорошо и глубоко учат были совсем не вопреки системе, а очень даже наоборот.

  37. Ruhcuhc:

    ну, физ–мат школы — это да. А в обычных они скорее противостояли остальным преподавателям и администрации.

  38. Zvin:

    для того, чтобы понять, нужно посчитать это выражение 😉

  39. Peels:

    Я посчитал и все равно не понял.

  40. Zvin:

    если считать на калькуляторе с небольшим количеством разрядов, то получится, что равенство как будто бы верное. На это и рассчитано: неспециалист не станет пользоваться ничем другим, кроме обычного бытового калькулятора, а вручную такие числа посчитать не просто.

  41. Ip2gtc:

    Во мне очень давно уже кипят комментарии протеста к «Плачу математика». Раз уж тему подняли, я пожалуй выскажусь

    1) Пол Локхард говорит что математика это искусство, и ее нужно учить как искусство. Это очевидно не так, достаточно подсмотреть в словаре определение и того и другого

    2) Пол Локхард не имеет понятия о том как на самом деле учат искусству. Что он представляет как страшный сон художника:

    «Мы не берем в руки красок до десятого класса, — сказали мне ученики, — В седьмом классе мы учим только теорию красок и кистей». Мне показали тетрадь по рисованию: в ней были закрашенные квадраты разных цветов с пустыми местами рядом с ними. Задание требовало вписать названия цветов рядом с квадратами.

    Пол и понятия не имеет, насколько описанная им картина близка к реальности. Спросите ученика художественного ПТУ, сколько времени их учат самовыражаться, рисуя шедевры, а сколько — заставляют рисовать натюрморты с глиняными хуями и зубрить наизусть латинские названия костей. В будущих художников сначала несколько лет вдалбливают техники и теории, а уж потом позволяют проявить себя. Век назад существовала такая система изучения живописи: первый год ученику вообще запрещали рисовать что–то свое, только копировать работы классиков.

    3) Мне кажется, сейчас принято слишком доверять мотивации. Мол нужно только рассказать ребенку, зачем ему нужен предмет, и он его с радостью выучит. На самом деле любую мотивацию можно опровергнуть. «Зачем мне учить географию, я извозчику скажу, он меня довезет куда надо?». Перевод школьных знаний в легкоусвояемую игровую форму зачастую ведет к их упрощению.

    4) Мозг — это тоже орган. И его тоже нужно тренировать. И он может атрофироваться если им долго не пользоваться. Математика — отличный способ тренировки мозга. Наряду с изучением языков и чтением книг, например. И заниматься ей нужно не просто потому что в 40 лет тебе понадобиться сосчитать тройной интеграл, а потому что мозг работает всю жизнь.

    5) Как говорил персонаж Маятника Фуко: «Я твердо верю, верю в то, что мир — это восхитительная перекличка нумерологических соотношений и что прочтение числа, купно с его символической интерпретацией, — таков привилегированный путь познания. Но если весь мир, как низменный так и верховный, являет собой систему соотношений, где перекликается все, tout se tient, вполне естественно, что и киоск и пирамида, оба представляющие собой плоды рук человека, подсознательно отображают в своем устройстве гармонию космоса»

    Это я к тому, что никогда не угадаешь что где когда понадобиться. Может быть умение решать дифуры однажды выведет вас из пустыни?

  42. CiMoon:

    Касательно сравнения математики с искусством или игрой — ну да, ребёнка не всегда это мотивирует. Особенно когда из–за двойки по математике у него проблеммы с родителями.

    Своим ученикам я в принципе говорю, что на сегодняшний день нет ни одного школьного предмета, знание которого мне бы не понадобилось. И это чистая правда. Однако, я твёрдо убеждён, что именно наличие знаний является причиной их применения, а не наоборот. Иными словами, если человек не знает математики, он будет выбираться из пустыни другими методами. И не факт, что безуспешно.

  43. Rafol:

    Считайте по модулю 2 — так проще.

  44. SMDummy:

    Darth– изучение математики–это не более чем привыкание.
    «выучить» абстракцию нельзя, но к ней можно привыкнуть. Чтобы элементарные шаги не вызывали проблем. Очень часто нужно много выучить и да, почти наизусть.

  45. Rafol:

    «Young man, in mathematics you don’t understand things. You just get used to them», John von Neuman.

  46. CiMoon:

    Для тех, кто не знает этого прикола, мона объяснить по–другому. В этой формуле утверждается, что чёт + нечет = чёт. А нам известно, что это не так.

  47. SpMonkey:

    Darth– скорее желание экономить время, мне было действительно лень зубрить, я не могу запоминать большой объем материала наизусть, т.е. это просто лень и опытным путем выведенный способ экономии собственных трудозатрат :))

    Да, про доказательства я немножко другое имел ввиду. Я говорил про необходимость запоминания методов доказательств (индукция, от противного и т.д.) как ни крути их запоминают, если объяснение метода понятное, то запоминание происходит само по себе без заучивания. Но факт есть факт — это то что приходится принять и выучить, к сожалению вывести это не в состоянии мозг школьника, это философия по сути дела. Точно так же обстоят дела с определениями и аксиомами, вот мне дали определение множества — я же не спрашиваю почему оно такое? Почему слово множество ассоциированно именно с множеством а не с треугольником например, и фиг кто из учителей мне выведет откуда пошло такое определение, потому что определние по определению не выводится а задано. :)) Простите

    Дневник — ты сам понимаешь для чего нужен, по сути дела это инструмент общения с родителями, туда заносятся оценки, чтоб родители видели успехи своего чада. Ну ещё как шедулер используется, но по факту это просто информационное табло родителю 🙂 Я не спорю что система эта устарела в принципе, сейчас наверняка есть более удобные и производительные подходы, меньше писанины и больше эффекта,
    но предыдущая система тоже была взята не с потолка.

    Если ты хороший учитель то делай все сам:
    Оценки в дневник не ставь, никто кстати не обязывает этого делать, только журнал.
    Корректируй оценки с учетом возможностей ученика, сильному занижай, слабому завышай.
    Вытягивай слабых на средний уровень, а сильных вперед к звездам.

  48. SpMonkey:

    Darth– ну во первых для этого есть факультативы, для лирических отступлений. Вызови интерес у ученика и он придет к тебе на факультатив, я собственно говоря ходил иногда, но к сожалению даже там был не совсем тот уровень который мне интересен, ибо туда ломилось куча зубрил, которые тормозили и там тоже, но для галочки хотели побывать… вот таких нужно отсеивать, но это сложно, т.е. нужно как–то им внятно объяснить, что факультатив это не «заучу — не лишне», а «пойму — мне интересно».

Добавить комментарий